電力用能動フィルタによる高調波補償原理と実効値解析

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電力用能動フィルタによる高調波補償原理と実効値解析

交流電力調整回路

第二種電気主任技術者 2023年度機械・制御問3

以下の文章は，負荷の発生する高調波を除去する電力用能動フィルタに関するものである。次の問に答えよ。

図1は能動フィルタを用いた高調波電流除去の概念図である。電力系統から流出する電源電流を $i_{\mathrm {s}}$ とし，電力系統の高調波に対するインピーダンスは十分小さく無視できるものとする。負荷電流 $i_{\mathrm {L}}$ は基本波成分 $i_{\mathrm {1}}$ と高調波成分 $i_{\mathrm {H}}$ の和 $i_{\mathrm {L}}=i_{\mathrm {1}}+i_{\mathrm {H}}$ であるとする。能動フィルタは，補償電流 $i_{\mathrm {c}}$ を制御して $i_{\mathrm {s}}$ を $i_{\mathrm {1}}$ のみとなるようにする。

(1)　高調波を発生する半導体デバイスを用いた電力変換装置の名称を一つ挙げよ。

(2)　系統に高調波が存在する場合，系統に接続された他の機器にどのような影響が生じるか， $20$ 文字以内で述べよ。

(3)　 $i_{\mathrm {s}}$ を $i_{\mathrm {1}}$ のみにするための $i_{\mathrm {c}}$ の式を示せ。

(4)　図で示す $i_{\mathrm {L}}$ の波形が最大値 $I_{\mathrm {L}}$ と最小値 $-I_{\mathrm {L}}$ の $2$ レベル矩形波であるとき， $i_{\mathrm {1}}$ の振幅は $\displaystyle \frac {4}{\pi }I_{\mathrm {L}}$ である。このとき，答案用紙に図2と同じ図が印刷されているので， $i_{\mathrm {H}}$ ， $i_{\mathrm {c}}$ の波形を大小・正負が明らかになるように図示せよ。

(5)　 $i_{\mathrm {L}}$ ， $i_{\mathrm {1}}$ ， $i_{\mathrm {c}}$ の実効値を，それぞれ $I_{\mathrm {L}}$ を用いて表せ。なお， $i_{\mathrm {c}}$ の実効値を求めるときは，ひずみ波の実効値は直流分及び各調波の実効値の $2$ 乗の和の平方根であることを用いても良い。

解説

本問は、電力系統に接続された非線形負荷から発生する高調波電流を、並列形の電力用能動フィルタ（アクティブパワーフィルタ：APF）によって打ち消す原理と計算に関する頻出問題です。

解析にあたっては、以下の基本原理を正確に適用することが鍵となります。

キルヒホッフの電流則（KCL）：接続点における流入電流と流出電流の平衡関係から、補償電流 $i_{\mathrm{c}}$ の符号を正しく決定する。
波形の合成と減算：矩形波負荷電流 $i_{\mathrm{L}}$ と正弦波基本波 $i_1$ の差から、高調波波形 $i_{\mathrm{H}}$ および補償電流波形 $i_{\mathrm{c}}$ を描画する。
ひずみ波の実効値と直交性：周波数の異なる正弦波成分同士は直交するため、ひずみ波の実効値の2乗は各成分（基本波および各高調波）の実効値の2乗の総和（パーセバルの等式）に等しい。

(1) 高調波を発生する電力変換装置の名称

半導体スイッチング素子（サイリスタ、ダイオード、IGBTなど）を用いて電力を変換する装置は、電圧や電流を非線形に断続（スイッチング）させるため、電源側にひずみ波電流（高調波電流）を流出させます。

該当する電力変換装置の名称としては、以下のようなものが挙げられます（いずれか一つを解答すれば満点となります）。

サイリスタ整流装置（またはインバータ、ダイオード整流器）

(2) 系統に高調波が存在する場合の影響（20文字以内）

電力系統に高調波が流出すると、以下のような障害が他の接続機器に発生します。

進相コンデンサや直列リアクトルの過熱・焼損・異音・振動（高周波ほどインピーダンスが低下し大電流が流入するため）
変圧器や回転機の鉄損・銅損増加による過熱
保護継電器（リレー）や精密電子機器の誤動作・誤トリップ
通信線への電磁誘導障害

指定文字数（20文字以内）を満たす簡潔な記述が求められます。

機器の過熱や誤動作を引き起こす。（16文字）

(3) $i_{\mathrm{s}}$ を $i_1$ のみにするための $i_{\mathrm{c}}$ の式

の接続点における電流の向きを確認します。

流入する電流：電源電流 $i_{\mathrm{s}}$
流出する電流：能動フィルタへ流れる補償電流 $i_{\mathrm{c}}$ 、負荷電流 $i_{\mathrm{L}}$

接続点においてキルヒホッフの電流則（KCL）を適用すると、次式が成り立ちます。

i_{\mathrm{s}} = i_{\mathrm{c}} + i_{\mathrm{L}}

\therefore i_{\mathrm{L}} = i_{\mathrm{s}} - i_{\mathrm{c}}

題意より、負荷電流は基本波成分 $i_1$ と高調波成分 $i_{\mathrm{H}}$ の和であるため、

i_{\mathrm{L}} = i_1 + i_{\mathrm{H}}

これらを等置すると、

i_{\mathrm{s}} - i_{\mathrm{c}} = i_1 + i_{\mathrm{H}}

電源電流 $i_{\mathrm{s}}$ を基本波成分のみ（ $i_{\mathrm{s}} = i_1$ ）とするための条件を代入すると、

i_1 - i_{\mathrm{c}} = i_1 + i_{\mathrm{H}}

両辺から $i_1$ を減じることで、求める $i_{\mathrm{c}}$ の式が得られます。

$i_{\mathrm{c}} = -i_{\mathrm{H}}$ （または $i_{\mathrm{c}} = i_1 - i_{\mathrm{L}}$ ）

(4) $i_{\mathrm{H}}$ および $i_{\mathrm{c}}$ の波形の図示

与えられた波形は以下の通りです。

負荷電流 $i_{\mathrm{L}}$ ： $0 < \omega t < \pi$ で $+I_{\mathrm{L}}$ 、 $\pi < \omega t < 2\pi$ で $-I_{\mathrm{L}}$ の矩形波
基本波電流 $i_1$ ： $i_1 = \displaystyle \frac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} \sin \omega t$ （振幅は $\displaystyle \frac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} \approx 1.273 I_{\mathrm{L}} > I_{\mathrm{L}}$ ）

① 各波形の関数式

高調波電流 $i_{\mathrm{H}}$ は、 $i_{\mathrm{L}} = i_1 + i_{\mathrm{H}}$ より、 $i_{\mathrm{H}} = i_{\mathrm{L}} - i_1$ です。

i_{\mathrm{H}}(\omega t) = \begin{cases} I_{\mathrm{L}} - \dfrac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} \sin \omega t & (0 < \omega t < \pi) \\[8pt] -I_{\mathrm{L}} - \dfrac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} \sin \omega t & (\pi < \omega t < 2\pi) \end{cases}

また、(3)より $i_{\mathrm{c}} = -i_{\mathrm{H}}$ であるため、補償電流 $i_{\mathrm{c}}$ の波形は $i_{\mathrm{H}}$ を時間軸に対して上下反転させた波形となります。

i_{\mathrm{c}}(\omega t) = \begin{cases} \dfrac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} \sin \omega t - I_{\mathrm{L}} & (0 < \omega t < \pi) \\[8pt] \dfrac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} \sin \omega t + I_{\mathrm{L}} & (\pi < \omega t < 2\pi) \end{cases}

② 主要な点における値と形状（作図の要点）

位相 $\omega t$	$i_{\mathrm{L}}$	$i_1$	$i_{\mathrm{H}} = i_{\mathrm{L}} - i_1$	$i_{\mathrm{c}} = -i_{\mathrm{H}}$
$0^+$	$+I_{\mathrm{L}}$	$0$	$+I_{\mathrm{L}}$	$-I_{\mathrm{L}}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$+I_{\mathrm{L}}$	$+\dfrac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}}$	$\left(1-\dfrac{4}{\pi}\right)I_{\mathrm{L}} \approx \mathbf{-0.273 I_{\mathrm{L}}}$	$\left(\dfrac{4}{\pi}-1\right)I_{\mathrm{L}} \approx \mathbf{+0.273 I_{\mathrm{L}}}$
$\pi^-$	$+I_{\mathrm{L}}$	$0$	$+I_{\mathrm{L}}$	$-I_{\mathrm{L}}$
$\pi^+$	$-I_{\mathrm{L}}$	$0$	$-I_{\mathrm{L}}$	$+I_{\mathrm{L}}$
$\dfrac{3\pi}{2}$	$-I_{\mathrm{L}}$	$-\dfrac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}}$	$\left(\dfrac{4}{\pi}-1\right)I_{\mathrm{L}} \approx \mathbf{+0.273 I_{\mathrm{L}}}$	$\left(1-\dfrac{4}{\pi}\right)I_{\mathrm{L}} \approx \mathbf{-0.273 I_{\mathrm{L}}}$
$2\pi^-$	$-I_{\mathrm{L}}$	$0$	$-I_{\mathrm{L}}$	$+I_{\mathrm{L}}$

したがって、波形の特徴は次のようになります。

$i_{\mathrm{H}}$ の波形： $0 < \omega t < \pi$ では $+I_{\mathrm{L}}$ から始まり、 $\omega t = \pi/2$ で負の値（ $-0.273 I_{\mathrm{L}}$ ）まで落ち込む下に凸（U字型）の曲線。 $\pi < \omega t < 2\pi$ では $-I_{\mathrm{L}}$ から始まり、 $\omega t = 3\pi/2$ で正の値（ $+0.273 I_{\mathrm{L}}$ ）まで立ち上がる上に凸（逆U字型）の曲線。
$i_{\mathrm{c}}$ の波形： $i_{\mathrm{H}}$ と正負が完全に逆となり、 $0 < \omega t < \pi$ で中央が正（ $+0.273 I_{\mathrm{L}}$ ）に盛り上がる山型、 $\pi < \omega t < 2\pi$ で中央が負（ $-0.273 I_{\mathrm{L}}$ ）に沈み込む谷型の曲線。
$\omega t = 0, \pi, 2\pi$ では矩形波の切り替えに伴い、振幅 $2I_{\mathrm{L}}$ の急峻なステップ状の跳躍が生じます。

iH の波形：
 +IL   ●╲              ╱○                  ●
         ╲            ╱ │                  │
   0 ─────╲──────────╱──┼──╭──────────╮────┼──→ ωt
           ╰────────╯   │ ╱            ╲   │
 −IL                    ●╯              ╰○
       0      π/2       π      3π/2      2π

ic の波形：
 +IL                    ●╮              ╭○
           ╭────────╮   │ ╲            ╱   │
   0 ─────╱──────────╲──┼──╰──────────╯────┼──→ ωt
         ╱            ╲ │                  │
 −IL   ●╱              ╲○                  ●
       0      π/2       π      3π/2      2π

(5) 各電流の実効値の計算

① 負荷電流 $i_{\mathrm{L}}$ の実効値 $I_{\mathrm{Le}}$

実効値の定義式 $I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\displaystyle \frac{1}{T} \int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t}$ に従います。 $i_{\mathrm{L}}$ は全区間で $i_{\mathrm{L}}^2 = (\pm I_{\mathrm{L}})^2 = I_{\mathrm{L}}^2$ （一定）であるため、

I_{\mathrm{Le}} = \sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi I_{\mathrm{L}}^2 \,\mathrm{d}(\omega t)} = \sqrt{\frac{1}{\pi} \cdot I_{\mathrm{L}}^2 \pi} = I_{\mathrm{L}}

$i_{\mathrm{L}}$ の実効値： $I_{\mathrm{L}}$

② 基本波電流 $i_1$ の実効値 $I_{1\mathrm{e}}$

振幅（最大値） $I_{\mathrm{m}}$ の正弦波の実効値は $\displaystyle \frac{I_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}$ です。 $i_1$ の振幅は $\displaystyle \frac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}}$ であるから、

I_{1\mathrm{e}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{\pi} I_{\mathrm{L}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} I_{\mathrm{L}} \approx 0.900 I_{\mathrm{L}}

$i_1$ の実効値： $\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi} I_{\mathrm{L}}$ （または約 $0.900 I_{\mathrm{L}}$ ）

③ 補償電流 $i_{\mathrm{c}}$ の実効値 $I_{\mathrm{ce}}$

問題文の注記にある通り、ひずみ波の実効値は各調波成分の実効値の2乗の和の平方根（パーセバルの等式）となります。負荷電流 $i_{\mathrm{L}}$ は直流分を含まず、基本波成分 $i_1$ と高調波成分 $i_{\mathrm{H}}$ の直交する成分のみで構成されているため、各実効値の間には次の関係が成立します。

I_{\mathrm{Le}}^2 = I_{1\mathrm{e}}^2 + I_{\mathrm{He}}^2

(3)より $i_{\mathrm{c}} = -i_{\mathrm{H}}$ であるため、実効値の2乗は $i_{\mathrm{c}}^2 = (-i_{\mathrm{H}})^2 = i_{\mathrm{H}}^2$ となり、 $I_{\mathrm{ce}} = I_{\mathrm{He}}$ です。したがって、

I_{\mathrm{ce}}^2 = I_{\mathrm{Le}}^2 - I_{1\mathrm{e}}^2

求めた実効値を代入すると、

I_{\mathrm{ce}}^2 = I_{\mathrm{L}}^2 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{\pi} I_{\mathrm{L}}\right)^2 = I_{\mathrm{L}}^2 \left(1 - \frac{8}{\pi^2}\right)

I_{\mathrm{ce}} = \sqrt{1 - \frac{8}{\pi^2}} I_{\mathrm{L}} \approx \sqrt{1 - 0.81057} I_{\mathrm{L}} = \sqrt{0.18943} I_{\mathrm{L}} \approx 0.435 I_{\mathrm{L}}

$i_{\mathrm{c}}$ の実効値： $\sqrt{1 - \dfrac{8}{\pi^2}} I_{\mathrm{L}}$ （または約 $0.435 I_{\mathrm{L}}$ ）

正解のまとめ

(1) サイリスタ整流装置（またはインバータ、ダイオード整流器等）
(2) 機器の過熱や誤動作を引き起こす。（16文字）
(3) $i_{\mathrm{c}} = -i_{\mathrm{H}}$
(4) $i_{\mathrm{H}}$ は $\omega t = \pi/2$ で $-0.273 I_{\mathrm{L}}$ の谷をもつ下に凸の曲線、 $i_{\mathrm{c}}$ はその上下反転波形（ $\omega t = \pi/2$ で $+0.273 I_{\mathrm{L}}$ の山）
(5) $i_{\mathrm{L}}$ の実効値： $I_{\mathrm{L}}$ 、　 $i_1$ の実効値： $\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi} I_{\mathrm{L}}$ 、　 $i_{\mathrm{c}}$ の実効値： $\sqrt{1 - \dfrac{8}{\pi^2}} I_{\mathrm{L}}$ （ $\approx 0.435 I_{\mathrm{L}}$ ）