【小問(1)の解説】

図1から積分要素 $G_1(s) = \dfrac{1}{T_{\mathrm{I}}s}$ を決定する

周波数伝達関数は $G_1(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega T_{\mathrm{I}}}$ であり、そのゲイン $g_1(\omega)$ は次式となります。

$$g_1(\omega) = 20 \log_{10} \left|\frac{1}{\mathrm{j}\omega T_{\mathrm{I}}}\right| = -20 \log_{10}(\omega T_{\mathrm{I}})\ [\mathrm{dB}]$$

より、特性曲線は $\omega = 0.1\ \mathrm{rad/s}$ のとき $g_1 = 0\ \mathrm{dB}$（また $\omega = 0.01$ で $20\ \mathrm{dB}$、$\omega = 1$ で $-20\ \mathrm{dB}$）を通っています。$\omega = 0.1\ \mathrm{rad/s}$ で $g_1 = 0\ \mathrm{dB}$ となる条件を代入すると、

$$-20 \log_{10}(0.1 T_{\mathrm{I}}) = 0$$ $$\log_{10}(0.1 T_{\mathrm{I}}) = 0$$ $$0.1 T_{\mathrm{I}} = 10^0 = 1 \implies T_{\mathrm{I}} = 10\ \mathrm{s}$$

したがって、求める伝達関数は次のようになります。

$$G_1(s) = \frac{1}{10s}$$

【小問(2)の解説】

$G(s) = G_1(s)G_2(s)$ と分解したときの $G_2(s)$ を求める

（図2）のゲイン特性は、図1と同じ傾き $-20\ \mathrm{dB/dec}$ の直線です。同じ角周波数 $\omega = 0.1\ \mathrm{rad/s}$ におけるゲインを比較すると、

• 図1のゲイン：$0\ \mathrm{dB}$
• 図2のゲイン：$40\ \mathrm{dB}$

傾きが等しく一定の差を保っていることから、図2の特性は図1の特性を周波数全域にわたり $+40\ \mathrm{dB}$ だけ平行移動（上方シフト）させたものであることが分かります。

ゲインの加算性より、周波数伝達関数 $G_2(\mathrm{j}\omega)$ のゲイン $g_2(\omega)$ は、

$$g_2(\omega) = 20 \log_{10}|G(\mathrm{j}\omega)| - 20 \log_{10}|G_1(\mathrm{j}\omega)| = 40 - 0 = 40\ [\mathrm{dB}]$$

これは角周波数 $\omega$ に依存しない一定値であるため、$G_2(s)$ は周波数によらない純粋な比例要素（定数ゲイン $K$）です。

$$20 \log_{10}|G_2(\mathrm{j}\omega)| = 40 \implies \log_{10}|G_2(\mathrm{j}\omega)| = 2 \implies |G_2(\mathrm{j}\omega)| = 10^2 = 100$$

問題の仮定より極や零点は右半平面に存在しないため、$G_2(s)$ は正の実数定数となります。

$$G_2(s) = 100$$

【小問(3)の解説】

図2のゲイン特性から直接 $G(s) = \dfrac{1}{T_{\mathrm{I1}}s}$ を求める

周波数伝達関数 $G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega T_{\mathrm{I1}}}$ のゲインは、

$$g(\omega) = 20 \log_{10} \left|\frac{1}{\mathrm{j}\omega T_{\mathrm{I1}}}\right| = -20 \log_{10}(\omega T_{\mathrm{I1}})\ [\mathrm{dB}]$$

題意より、$\omega = 0.1\ \mathrm{rad/s}$ のとき $g = 40\ \mathrm{dB}$ であるため、

$$-20 \log_{10}(0.1 T_{\mathrm{I1}}) = 40$$ $$\log_{10}(0.1 T_{\mathrm{I1}}) = -2$$ $$0.1 T_{\mathrm{I1}} = 10^{-2} = 0.01 \implies T_{\mathrm{I1}} = 0.1\ \mathrm{s}$$

したがって、$G(s)$ は次のように求められます。

$$T_{\mathrm{I1}} = 0.1\ \mathrm{s},\quad G(s) = \frac{1}{0.1s} = \frac{10}{s}$$

※ 小問(1)と小問(2)の結果を掛け合わせると $G(s) = G_1(s)G_2(s) = \dfrac{1}{10s} \times 100 = \dfrac{10}{s}$ となり、完全に一致することが確認できます。

【小問(4)の解説】

図3の折れ線近似特性から $G(s)$ を求める

伝達関数を積分要素 $G_1(s) = \dfrac{1}{T_{\mathrm{I2}}s}$ と一次遅れ要素 $G_2(s) = \dfrac{1}{1+Ts}$ の直列結合：

$$G(s) = G_1(s)G_2(s) = \frac{1}{T_{\mathrm{I2}}s(1+Ts)}$$

として分解します。

（図3）の特性曲線を分析して各パラメータを決定します。

1. 一次遅れ要素の時定数 $T$ の決定

図3において、ゲインの傾きは $\omega = 0.5\ \mathrm{rad/s}$ の地点で $-20\ \mathrm{dB/dec}$ から $-40\ \mathrm{dB/dec}$ へと急変しています。傾きが $-20\ \mathrm{dB/dec}$ だけ減少していることから、この折れ点角周波数が一次遅れ要素の折れ点 $\omega_{\mathrm{c}} = 0.5\ \mathrm{rad/s}$ に対応します。

$$\omega_{\mathrm{c}} = \frac{1}{T} = 0.5\ \mathrm{rad/s} \implies T = \frac{1}{0.5} = 2\ \mathrm{s}$$

したがって、一次遅れ要素は $G_2(s) = \dfrac{1}{1+2s}$ と決定されます。

2. 積分要素の時定数 $T_{\mathrm{I2}}$ の決定

折れ線近似では、一次遅れ要素 $G_2(s)$ のゲインは折れ点角周波数以下（$\omega \le 0.5\ \mathrm{rad/s}$）において $0\ \mathrm{dB}$ とみなされます。

したがって、折れ点 $\omega = 0.5\ \mathrm{rad/s}$ における全体のゲイン $14\ \mathrm{dB}$ は、すべて積分要素 $G_1(s)$ が担っていることになります。

$$g_1(0.5) = -20\log_{10}(0.5 T_{\mathrm{I2}}) = 14\ [\mathrm{dB}]$$

問題文に与えられた条件式 $14 = 20 \log_{10} 10^{0.7}$ および $10^{0.7} = 5.0119$ を用いて変形します。

$$20 \log_{10}\left(\frac{1}{0.5 T_{\mathrm{I2}}}\right) = 20 \log_{10} 10^{0.7}$$ $$\frac{1}{0.5 T_{\mathrm{I2}}} = 10^{0.7} = 5.0119$$ $$T_{\mathrm{I2}} = \frac{1}{0.5 \times 5.0119} = \frac{2}{5.0119}\ [\mathrm{s}]$$

これより、積分要素は $G_1(s) = \dfrac{1}{T_{\mathrm{I2}}s} = \dfrac{5.0119}{2s}$ と求まります。

3. 伝達関数 $G(s)$ の合成

以上を掛け合わせると、伝達関数 $G(s)$ は次のようになります。

$$G(s) = G_1(s)G_2(s) = \frac{5.0119}{2s} \cdot \frac{1}{1+2s} = \frac{5.0119}{2s(1+2s)} \fallingdotseq \frac{5.01}{2s(1+2s)}$$

なお、分子・分母を整理して分子に比例ゲインをまとめた表記（$\dfrac{5.0119}{2} \approx 2.506$）も同等に正解です。

$$G(s) = \frac{5.01}{2s(1+2s)}\quad \left(\approx \frac{2.51}{s(1+2s)}\right)$$