(1) フェーザ図中の各記号の同定

問題の図

において、端子電圧のフェーザ $\dot V$ が水平右向きの基準ベクトルとして描かれています。

1. 電流 $\dot I$ と力率角 $\theta$：遅れ力率運転であるため、電流ベクトルは端子電圧 $\dot V$ より位相が角 $\theta$ だけ遅れます。したがって、水平線から右下向きに伸びるベクトルが電流 $\dot I$ であり、そのなす角が $\theta$ です。
   $\rightarrow$ (d) : $\theta$、(e) : $\dot I$
2. リアクタンス電圧降下 $\mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I$：虚数単位 $\mathrm{j}$ を乗じると位相が $90^\circ$ 進むため、電流 $\dot I$ に直交する（垂直な）向きとなります。$\dot V$ の先端から右上へ立ち上がるベクトルがこれに該当します。
   $\rightarrow$ (b) : $\mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I$
3. 無負荷誘導起電力 $\dot E$ と負荷角 $\delta$：等価回路の関係式 $\dot E = \dot V + \mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I$ より、原点から $\mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I$ の終点へと向かう合成ベクトルが無負荷誘導起電力 $\dot E$ です。また、端子電圧 $\dot V$ と誘導起電力 $\dot E$ の位相差が負荷角（相差角）$\delta$ です。
   $\rightarrow$ (a) : $\dot E$、(c) : $\delta$

解答：$(\mathrm{a})\ \dot E,\quad (\mathrm{b})\ \mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I,\quad (\mathrm{c})\ \delta,\quad (\mathrm{d})\ \theta,\quad (\mathrm{e})\ \dot I$

(2) 無負荷誘導起電力 $E$ の式導出と定格時の値 $E_{\mathrm{n}}$

【起電力 $E$ の式の導出】

端子電圧フェーザ $\dot V$ を実軸にとると、遅れ力率角 $\theta$ の電流フェーザは $\dot I = I(\cos\theta - \mathrm{j}\sin\theta)$ と表されます。これを関係式に代入します。

$$\begin{aligned} \dot E &= \dot V + \mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I \\ &= V + \mathrm{j}X_{\mathrm{s}}I(\cos\theta - \mathrm{j}\sin\theta) \\ &= (V + X_{\mathrm{s}}I\sin\theta) + \mathrm{j}(X_{\mathrm{s}}I\cos\theta) \end{aligned}$$

フェーザ図の破線で作られる直角三角形（底辺：$V + X_{\mathrm{s}}I\sin\theta$、高さ：$X_{\mathrm{s}}I\cos\theta$、斜辺：$E$）に三平方の定理を適用すると、誘導起電力の大きさ $E$ は次のようになります。

$$E = \sqrt{(V + X_{\mathrm{s}}I\sin\theta)^2 + (X_{\mathrm{s}}I\cos\theta)^2}$$

（※展開形 $E = \sqrt{V^2 + 2VX_{\mathrm{s}}I\sin\theta + (X_{\mathrm{s}}I)^2}$ でも正解です）

【定格運転時の値 $E_{\mathrm{n}}$ の計算】

単位法における定格値は $V_{\mathrm{n}} = 1.0\ \mathrm{[p.u.]}$、$I_{\mathrm{n}} = 1.0\ \mathrm{[p.u.]}$、$X_{\mathrm{s}} = 1.8\ \mathrm{[p.u.]}$ です。また、力率 $\cos\theta = 0.8$ より、

$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6$$

実部と虚部の値をそれぞれ求めます。

• 実部：$V_{\mathrm{n}} + X_{\mathrm{s}}I_{\mathrm{n}}\sin\theta = 1.0 + 1.8 \times 1.0 \times 0.6 = 1.0 + 1.08 = 2.08\ \mathrm{[p.u.]}$
• 虚部：$X_{\mathrm{s}}I_{\mathrm{n}}\cos\theta = 1.8 \times 1.0 \times 0.8 = 1.44\ \mathrm{[p.u.]}$

これらより、定格時の誘導起電力 $E_{\mathrm{n}}$ は、

$$E_{\mathrm{n}} = \sqrt{2.08^2 + 1.44^2} = \sqrt{4.3264 + 2.0736} = \sqrt{6.4} \approx 2.5298\ \mathrm{[p.u.]}$$

解答：式：$E = \sqrt{(V + X_{\mathrm{s}}I\sin\theta)^2 + (X_{\mathrm{s}}I\cos\theta)^2}$，値：$E_{\mathrm{n}} = 2.53\ \mathrm{[p.u.]}$

(3) 有効電力 $P$ の式導出

フェーザ図において、端子電圧 $\dot V$（水平軸）に対する垂直成分（虚部）に着目します。

誘導起電力 $\dot E$ の垂直成分は $E\sin\delta$ であり、リアクタンス降下 $\mathrm{j}X_{\mathrm{s}}\dot I$ の垂直成分は $X_{\mathrm{s}}I\cos\theta$ です。幾何学的に両者は等しいため、

$$E\sin\delta = X_{\mathrm{s}}I\cos\theta \quad \implies \quad I\cos\theta = \frac{E\sin\delta}{X_{\mathrm{s}}}$$

これを有効電力の定義式 $P = VI\cos\theta\ \mathrm{[p.u.]}$ に代入すると、

$$P = V \cdot \left(\frac{E\sin\delta}{X_{\mathrm{s}}}\right) = \frac{VE}{X_{\mathrm{s}}}\sin\delta$$

解答：$P = \frac{VE}{X_{\mathrm{s}}}\sin\delta$

(4) 定格運転時の特性計算

a) 定格運転時の負荷角 $\sin\delta_{\mathrm{n}}$ の計算

定格運転時の有効電力 $P_{\mathrm{n}}$ は、定格皮相電力 $S_{\mathrm{n}} = 1.0\ \mathrm{[p.u.]}$ より、

$$P_{\mathrm{n}} = V_{\mathrm{n}}I_{\mathrm{n}}\cos\theta = 1.0 \times 1.0 \times 0.8 = 0.8\ \mathrm{[p.u.]}$$

(3)で求めた式を変形して定格値を代入します。

$$\sin\delta_{\mathrm{n}} = \frac{P_{\mathrm{n}}X_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{n}}E_{\mathrm{n}}} = \frac{0.8 \times 1.8}{1.0 \times \sqrt{6.4}} = \frac{1.44}{2.5298} \approx 0.56921 \rightarrow 0.569$$

b) 定態安定極限電力 $P_{\mathrm{m}}$ の式と $P_{\mathrm{mn}}$ の計算

有効電力の式 $P = \frac{VE}{X_{\mathrm{s}}}\sin\delta$ において、$\sin\delta \le 1$ より、電力は負荷角 $\delta = 90^\circ$（$\frac{\pi}{2}\ \mathrm{rad}$）のときに最大となります。この最大値を定態安定極限電力 $P_{\mathrm{m}}$ といいます。

$$P_{\mathrm{m}} = \frac{VE}{X_{\mathrm{s}}}\ \mathrm{[p.u.]}$$

定格運転時の定態安定極限電力を単位法で求めると、

$$P_{\mathrm{mn}}\ \mathrm{[p.u.]} = \frac{V_{\mathrm{n}}E_{\mathrm{n}}}{X_{\mathrm{s}}} = \frac{1.0 \times 2.5298}{1.8} \approx 1.4054\ \mathrm{[p.u.]}$$

基準容量は $S_{\mathrm{base}} = 15\ \mathrm{[MV\cdot A]}$ なので、実単位 $[\mathrm{MW}]$ に換算します。

$$P_{\mathrm{mn}} = P_{\mathrm{mn}}\ \mathrm{[p.u.]} \times S_{\mathrm{base}} = 1.4054 \times 15 \approx 21.082 \rightarrow 21.1\ \mathrm{[MW]}$$

解答：a) $\sin\delta_{\mathrm{n}} = 0.569$　b) 式：$P_{\mathrm{m}} = \frac{VE}{X_{\mathrm{s}}}$，値：$P_{\mathrm{mn}} = 21.1\ \mathrm{[MW]}$

(5) 界磁電流を $80\ \%$ に減少させた場合

磁気飽和を無視するため、誘導起電力は界磁電流に比例します。界磁電流を $0.8$ 倍にすると、無負荷誘導起電力 $E'$ は次のようになります。

$$E' = 0.8 \times E_{\mathrm{n}} = 0.8 \times 2.5298 \approx 2.0238\ \mathrm{[p.u.]}$$

a) 定態安定極限電力 $P_{\mathrm{m}}'$ の変化と値

定態安定極限電力 $P_{\mathrm{m}}' = \frac{VE'}{X_{\mathrm{s}}}$ は起電力 $E'$ に比例して低下するため、定格運転時と比べて減少します。

$$P_{\mathrm{m}}' = 0.8 \times P_{\mathrm{mn}} = 0.8 \times 21.082 \approx 16.865 \rightarrow 16.9\ \mathrm{[MW]}$$

b) 負荷角 $\sin\delta'$ と定態安定度の変化

原動機の機械的入力が一定であれば、発電機の有効電力出力は定格値 $P = 0.8\ \mathrm{[p.u.]}$ を維持します。

$$\sin\delta' = \frac{PX_{\mathrm{s}}}{VE'} = \frac{0.8 \times 1.8}{1.0 \times 2.0238} = \frac{1.44}{2.0238} \approx 0.7115 \rightarrow 0.712$$

定格運転時の負荷角 $\sin\delta_{\mathrm{n}} = 0.569$ と比較すると、$\sin\delta' = 0.712$ と大きくなり、脱調限界である $\delta = 90^\circ$（$\sin\delta = 1$）に近づきます。また、同期化力係数 $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\delta} = \frac{VE}{X_{\mathrm{s}}}\cos\delta$ も低下するため、定態安定度（同期安定性）は低下します。

解答：a) 変化：減少する，値：$P_{\mathrm{m}}' = 16.9\ \mathrm{[MW]}$　b) $\sin\delta' = 0.712$，定態安定度：低下する