等面積法による1機無限大母線系統の過渡安定性計算

過去問一覧第二種電気主任技術者 2023年度電力・管理等面積法による1機無限大母線系統の過渡安定性計算

等面積法による1機無限大母線系統の過渡安定性計算

変電

第二種電気主任技術者 2023年度電力・管理問3

等面積法を用いた過渡安定性の計算に関して，次の問に答えよ。

図1のように，変圧器及び $2$ 回線送電線を介して，同期発電機から無限大母線へ三相 $3$ 線式で送電する系統を考える。変圧器のリアクタンスは $X_{\mathrm {t}} \ \mathrm {[p.u.]}$ ，送電線 $1$ 回線当たりのリアクタンスを $X_{l} \ \mathrm {[p.u.]}$ ，同期発電機のリアクタンスは系統じょう乱の影響によらず過渡リアクタンス $X_{\mathrm {d}}^{\prime } \ \mathrm {[p.u.]}$ で一定とし，いずれも抵抗や静電容量は無視する。同期発電機の内部電圧及び無限大母線の電圧の大きさはそれぞれ $E_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[p.u.]}$ 及び $E_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[p.u.]}$ で一定とし，同期発電機の発電出力（電気的出力）及びその初期値をそれぞれ $P_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[p.u.]}$ 及び $P_{\mathrm {G0}} \ \mathrm {[p.u.]}$ とする。無限大母線の電圧を位相の基準，単位法による定数は全て同一の基準容量に基づくものとして，以下の問に答えよ。

(1)　発電機内部電圧の位相角を $\delta _{\mathrm {0}} \ \mathrm {[rad]}$ として，同期発電機の発電出力 $P_{\mathrm {G}}$ を表す数式を $E_{\mathrm {G}}$ ， $E_{\mathrm {0}}$ ， $X_{\mathrm {d}}^{\prime }$ ， $X_{\mathrm {t}}$ ， $X_{l}$ ， $\delta _{\mathrm {0}}$ を用いて記載せよ。

以降の設問では， $X_{\mathrm {t}}=0.10 \ \mathrm {p.u.}$ ， $X_{l}=0.20 \ \mathrm {p.u.}$ ， $X_{\mathrm {d}}^{\prime }=0.15 \ \mathrm {p.u.}$ ， $E_{\mathrm {G}}=E_{\mathrm {0}}=1.0 \ \mathrm {p.u.}$ ， $P_{\mathrm {G0}}=0.8 \ \mathrm {p.u.}$ とする。また，発電機への機械的入力は $P_{\mathrm {G0}}$ に等しく，かつ，一定とする。 $\pi =3.14$ として計算し，有効桁数を $2$ 桁として答えよ。なお，同期発電機が定常状態にある平衡点では発電機内部電圧の位相角は小さいとみなし， $\sin \delta ≈ \delta$ の近似を用いてよい。

(2)　同期発電機の内部電圧の位相角 $\delta _{\mathrm {0}} \ \mathrm {[rad]}$ を求めよ。

(3)　図1の送電線 $1$ 回線で三相地絡故障が生じ，その後，当該の回線が両端の遮断器の動作により切り離されることを想定する。 $1$ 回線開放後の不安定平衡点における位相角 $\delta _{\mathrm {u}} \ \mathrm {[rad]}$ を求めよ。ここで， $1$ 回線開放後の系統における発電出力と内部電圧の位相角との関係を図2に示す。同図の安定平衡点における位相角を $\delta _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad]}$ とし， $\delta _{\mathrm {u}}=\pi – \delta _{\mathrm {s}}$ を用いること。

(4)　小問(3)の故障が生じた際，故障継続中の同期発電機の発電出力を $0 \ \mathrm {p.u.}$ とすると，同期発電機の位相角が図3の $\delta _{\mathrm {c}} \ \mathrm {[rad]}$ に到達する前に当該の回線を開放できれば脱調を回避できる。ここで $\delta _{\mathrm {c}} \ \mathrm {[rad]}$ は，等面積法により同図中の面積(A)と(B)が等しくなる位相角である。 $\cos \delta _{\mathrm {c}}$ の値を求めよ。ただし，同期発電機の制動効果は無視する。

解説

本問は、1機無限大母線系統における送電特性と、送電線事故時の過渡安定性を評価する代表的手法である「等面積法（Equal Area Criterion）」に関する総合問題です。

【本問で用いる主要な基本原理・公式】

1機無限大母線系統の電力相差角特性：
リアクタンス $X$ （抵抗無視）を介した有効電力出力は、 $P_{\mathrm{G}} = \frac{E_{\mathrm{G}} E_0}{X} \sin \delta$
並列送電線の合成リアクタンス：
同一諸元の送電線 $2$ 回線並列時は $X_{\text{line}} = \dfrac{X_l}{2}$ 、 $1$ 回線開放時は $X_{\text{line}} = X_l$
微小角近似：
$\sin \delta \approx \delta \ \mathrm{[rad]}$ （定常運転平衡点付近で適用）
等面積法の安定限界条件：
$\text{加速エネルギー（面積 A）} = \text{減速エネルギー（面積 B）}$

(1) 同期発電機の発電出力 $P_{\mathrm{G}}$ を表す数式の導出

図1

より、発電機内部から無限大母線に至る系統全体の合成リアクタンス

X

を求めます。

送電線はリアクタンス $X_l$ の同一線路が $2$ 回線並列に接続されているため、送電線部分の合成リアクタンスは、 $X_{\text{line}} = \frac{X_l \cdot X_l}{X_l + X_l} = \frac{X_l}{2}$ となります。したがって、過渡リアクタンス $X_{\mathrm{d}}'$ 、変圧器リアクタンス $X_{\mathrm{t}}$ 、送電線リアクタンス $X_{\text{line}}$ の直列合成リアクタンス $X_1$ は、 $X_1 = X_{\mathrm{d}}' + X_{\mathrm{t}} + \frac{X_l}{2}$ となります。

内部電圧 $E_{\mathrm{G}}$ 、無限大母線電圧 $E_0$ 、位相差 $\delta_0$ のとき、発電出力（電気的出力） $P_{\mathrm{G}}$ は次式で表されます。

$P_{\mathrm{G}} = \frac{E_{\mathrm{G}} E_0}{X_{\mathrm{d}}' + X_{\mathrm{t}} + \dfrac{X_l}{2}} \sin \delta_0$

(2) 初期位相角 $\delta_0$ の導出

与えられた各数値を代入して、故障発生前の系統全体のリアクタンス $X_1$ を計算します。 $X_1 = 0.15 + 0.10 + \frac{0.20}{2} = 0.35 \ \mathrm{[p.u.]}$

初期発電出力は $P_{\mathrm{G0}} = 0.8 \ \mathrm{[p.u.]}$ 、各電圧の大きさは $E_{\mathrm{G}} = E_0 = 1.0 \ \mathrm{[p.u.]}$ であるため、(1)の式に代入すると、 $0.8 = \frac{1.0 \times 1.0}{0.35} \sin \delta_0$ $\sin \delta_0 = 0.8 \times 0.35 = 0.28$

問題文の指示により微小角近似 $\sin \delta_0 \approx \delta_0$ を用いると、 $\delta_0 = 0.28 \ \mathrm{[rad]}$

$\delta_0 = 0.28 \ \mathrm{[rad]}$

(3) 1回線開放後の不安定平衡点における位相角 $\delta_{\mathrm{u}}$ の導出

送電線 $1$ 回線が開放された後の系統合成リアクタンス $X_2$ は、送電線が $1$ 回線分（ $X_l$ ）となるため、 $X_2 = X_{\mathrm{d}}' + X_{\mathrm{t}} + X_l = 0.15 + 0.10 + 0.20 = 0.45 \ \mathrm{[p.u.]}$

このときの電力相差角特性における最大出力 $P_{\max 2}$ は、 $P_{\max 2} = \frac{E_{\mathrm{G}} E_0}{X_2} = \frac{1.0 \times 1.0}{0.45} = \frac{1}{0.45} \ \mathrm{[p.u.]}$

機械的入力は $P_{\mathrm{m}} = P_{\mathrm{G0}} = 0.8 \ \mathrm{[p.u.]}$ で一定です。図2

に示される安定平衡点

\delta_{\mathrm{s}}

では電気的出力と機械的入力が等しくなるため、

P_{\max 2} \sin \delta_{\mathrm{s}} = P_{\mathrm{m}} \implies \frac{1}{0.45} \sin \delta_{\mathrm{s}} = 0.8

\sin \delta_{\mathrm{s}} = 0.8 \times 0.45 = 0.36

近似 $\sin \delta_{\mathrm{s}} \approx \delta_{\mathrm{s}}$ を用いると、 $\delta_{\mathrm{s}} \approx 0.36 \ \mathrm{[rad]}$

図2の対称性より、不安定平衡点の位相角 $\delta_{\mathrm{u}}$ は $\delta_{\mathrm{u}} = \pi - \delta_{\mathrm{s}}$ で与えられるため、 $\pi = 3.14$ として、 $\delta_{\mathrm{u}} = 3.14 - 0.36 = 2.78 \ \mathrm{[rad]}$ 有効数字 $2$ 桁に丸めると $2.8 \ \mathrm{[rad]}$ となります。

$\delta_{\mathrm{u}} = 2.8 \ \mathrm{[rad]}$

(4) 等面積法による臨界遮断角における $\cos \delta_{\mathrm{c}}$ の算出

等面積法により、脱調を回避できる限界条件は「加速面積(A) ＝減速面積(B)」です（図3

参照）。

1. 加速エネルギー（面積 A）

故障継続中（ $\delta_0 \to \delta_{\mathrm{c}}$ ）は $P_{\mathrm{G}} = 0$ 、機械的入力は $P_{\mathrm{m}} = 0.8$ であるため、 $W_{\mathrm{a}} = \int_{\delta_0}^{\delta_{\mathrm{c}}} (P_{\mathrm{m}} - 0) \,\mathrm{d}\delta = P_{\mathrm{m}} (\delta_{\mathrm{c}} - \delta_0)$

2. 減速エネルギー（面積 B）

$1$ 回線開放後（ $\delta_{\mathrm{c}} \to \delta_{\mathrm{u}}$ ）は電気的出力が $P_{\max 2} \sin \delta$ となり、機械的入力を上回るため減速します。 $W_{\mathrm{d}} = \int_{\delta_{\mathrm{c}}}^{\delta_{\mathrm{u}}} (P_{\max 2} \sin \delta - P_{\mathrm{m}}) \,\mathrm{d}\delta = \left[ -P_{\max 2} \cos \delta - P_{\mathrm{m}} \delta \right]_{\delta_{\mathrm{c}}}^{\delta_{\mathrm{u}}}$ よって、 $W_{\mathrm{d}} = P_{\max 2} (\cos \delta_{\mathrm{c}} - \cos \delta_{\mathrm{u}}) - P_{\mathrm{m}} (\delta_{\mathrm{u}} - \delta_{\mathrm{c}})$

3. 面積の釣合い関係式 $W_{\mathrm{a}} = W_{\mathrm{d}}$

$P_{\mathrm{m}} (\delta_{\mathrm{c}} - \delta_0) = P_{\max 2} (\cos \delta_{\mathrm{c}} - \cos \delta_{\mathrm{u}}) - P_{\mathrm{m}} (\delta_{\mathrm{u}} - \delta_{\mathrm{c}})$ 両辺を展開すると、 $P_{\mathrm{m}} \delta_{\mathrm{c}}$ の項が相殺されます。 $P_{\mathrm{m}} \delta_{\mathrm{c}} - P_{\mathrm{m}} \delta_0 = P_{\max 2} (\cos \delta_{\mathrm{c}} - \cos \delta_{\mathrm{u}}) - P_{\mathrm{m}} \delta_{\mathrm{u}} + P_{\mathrm{m}} \delta_{\mathrm{c}}$ $P_{\mathrm{m}} (\delta_{\mathrm{u}} - \delta_0) = P_{\max 2} (\cos \delta_{\mathrm{c}} - \cos \delta_{\mathrm{u}})$ 両辺を $P_{\max 2}$ で割って整理すると、 $\cos \delta_{\mathrm{c}} = \cos \delta_{\mathrm{u}} + \frac{P_{\mathrm{m}}}{P_{\max 2}} (\delta_{\mathrm{u}} - \delta_0)$ となります。

4. 数値の代入

$\dfrac{P_{\mathrm{m}}}{P_{\max 2}} = 0.8 \times 0.45 = 0.36$
$\delta_{\mathrm{u}} - \delta_0 = 2.78 - 0.28 = 2.50 \ \mathrm{[rad]}$
$\cos \delta_{\mathrm{u}}$ の算出：
$\delta_{\mathrm{u}} = \pi - \delta_{\mathrm{s}}$ より、 $\cos \delta_{\mathrm{u}} = -\cos \delta_{\mathrm{s}}$ です。また、 $\delta_{\mathrm{u}} > \dfrac{\pi}{2}$ であることから符号は負であり、 $\cos \delta_{\mathrm{u}} = -\sqrt{1 - \sin^2 \delta_{\mathrm{s}}} = -\sqrt{1 - 0.36^2} = -\sqrt{1 - 0.1296} = -\sqrt{0.8704} \approx -0.9330$

これらを代入すると、 $\cos \delta_{\mathrm{c}} = -0.9330 + 0.36 \times 2.50 = -0.9330 + 0.9000 = -0.0330$ 有効数字 $2$ 桁で表すと、 $-0.033$ となります。

$\cos \delta_{\mathrm{c}} = -0.033$

結論

(1) $P_{\mathrm{G}} = \dfrac{E_{\mathrm{G}} E_0}{X_{\mathrm{d}}' + X_{\mathrm{t}} + \dfrac{X_l}{2}} \sin \delta_0$
(2) $\delta_0 = 0.28 \ \mathrm{[rad]}$
(3) $\delta_{\mathrm{u}} = 2.8 \ \mathrm{[rad]}$
(4) $\cos \delta_{\mathrm{c}} = -0.033$

【ポイント】
等面積法の計算では、一見すると未知数 $\delta_{\mathrm{c}}$ が積分の両端（角度そのものと余弦）に含まれて解けないように見えますが、式を整理すると直線的な $\delta_{\mathrm{c}}$ の項が相殺され、未知数が $\cos \delta_{\mathrm{c}}$ だけの $1$ 次方程式に帰着される点が最大の急所です。