参照モデル追従制御系における閉ループ伝達関数と制御定数の導出

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参照モデル追従制御系における閉ループ伝達関数と制御定数の導出

PID

第二種電気主任技術者 2015年度機械・制御問4

図に示すフィードバック制御系において， $R(s)$ ， $E(s)$ ， $U(s)$ ， $Y(s)$ はそれぞれ，目標値 $r(t)$ ，制御偏差 $e(t)$ ，操作入力 $u(t)$ ，制御量 $y(t)$ のラプラス変換を表している。また， $G(s)$ は制御対象の伝達関数， $\displaystyle \frac {k}{s}$ は積分動作の直列補償要素， $F(s)$ はフィードバック補償要素を表している。

以下において， $\displaystyle \frac {k}{s}$ と $F(s)$ とに含まれる制御定数を調整することで，フィードバック制御系の目標値 $R(s)$ から制御量 $Y(s)$ までの伝達関数を，望ましい動特性を実現する参照モデルの伝達関数に一致させることを考える。次の問に答えよ。

(1)　制御対象は零点をもたない遅れ系であって，多項式 $h(s)$ を用いて次のように表されている。
$G(s)=\frac {1}{h(s)}$ フィードバック制御系の目標値 $R(s)$ から制御量 $Y(s)$ までの伝達関数 $W(s)$ を $s$ ， $k$ ， $F(s)$ ， $h(s)$ を用いて表せ。

(2)　制御対象は2次遅れ系
$G(s)=\frac {1}{h(s)}=\frac {1}{h_{0}+h_{1}s+h_{2}s^{2}}$ であるとする。また，フィードバック補償要素 $f(s)$ は定数であるとし，
$F(s)=f_{0}$ とおく。

次の参照モデルを導入する。
$W_{\mathrm {d}}(s)=\frac {1}{1+\sigma s+\alpha _{2}\sigma ^{2}s^{2}+\alpha _{3}\sigma ^{3}s^{3}}$ ここで， $\alpha _{2}$ 及び $\alpha _{3}$ は時間応答の形を規定する係数であり， $\sigma$ は，その次数を $s$ の次数と合わせているので，時間スケールのパラメータである。しかも，1次のモーメントに一致するので，立ち上がりの一つの特性値でもある。この $\sigma$ も設計時の計算において決定する。

フィードバック制御系の目標値から制御量までの伝達関数 $W(s)$ と参照モデル $W_{\mathrm {d}}(s)$ を一致させるために，パラメータ $\sigma$ と制御定数 $k$ ， $f_{0}$ が満たさなくてはならない連立方程式を求めよ。

(3)　連立方程式を解いてパラメータ $\sigma$ を $\alpha _{2}$ ， $\alpha _{3}$ ， $h_{1}$ ， $h_{2}$ を用いて表せ。

(4)　制御定数 $k$ を求める式を $\alpha _{2}$ ， $h_{1}$ ， $\sigma$ を用いて表せ。

(5)　制御定数 $f_{0}$ を求める式を $k$ ， $h_{0}$ ， $\sigma$ を用いて表せ。

解説

本問は、目標とする閉ループ応答特性をあらかじめ多項式で指定した「参照モデル $W_{\mathrm{d}}(s)$ 」に対して、実際の制御系の伝達関数 $W(s)$ が完全に一致するように補償器の定数（ $k, f_0$ ）および時間スケールパラメータ（ $\sigma$ ）を決定するモデルマッチング手法に関する問題です。

【本問の重要ポイント】

ブロック線図の代数関係の立式：各加算点における信号の入出力関係を正しく式にする（符号に注意）。
伝達関数の標準化と係数比較：参照モデルの分母多項式（定数項が $1$ ）と形を合わせるため、閉ループ伝達関数の分子・分母を定数項で割ってから各次数の係数を比較する。

(1) 閉ループ伝達関数 $W(s)$ の導出

問題のブロック線図

より、各部の信号関係式を立てます。

偏差信号： $E(s) = R(s) - Y(s)$
操作入力： $U(s) = \displaystyle\frac{k}{s}E(s) - F(s)Y(s)$
制御対象の出力： $Y(s) = G(s)U(s) = \displaystyle\frac{1}{h(s)}U(s)$

第3式より $U(s) = h(s)Y(s)$ です。これを第2式に代入し、さらに $E(s)$ を消去します。

h(s)Y(s) = \frac{k}{s}\left[R(s) - Y(s)\right] - F(s)Y(s)

両辺に $s$ を乗じて分母を払います。

s \cdot h(s)Y(s) = k R(s) - k Y(s) - s F(s)Y(s)

$Y(s)$ を含む項をすべて左辺に集めて整理します。

\left[s \cdot h(s) + sF(s) + k\right]Y(s) = k R(s)

したがって、目標値 $R(s)$ から制御量 $Y(s)$ までの伝達関数 $W(s) = \displaystyle\frac{Y(s)}{R(s)}$ は次のようになります。

$W(s) = \frac{k}{s \cdot h(s) + sF(s) + k}$

※なお、分子・分母を $k$ で割った形式である $W(s) = \displaystyle\frac{1}{1 + \frac{s}{k}[F(s) + h(s)]}$ と表しても正解です。

(2) 参照モデルと一致させるための連立方程式

制御対象の特性 $h(s) = h_0 + h_1 s + h_2 s^2$ およびフィードバック要素 $F(s) = f_0$ を (1) で求めた $W(s)$ の分母に代入します。

\begin{aligned} W(s) &= \frac{k}{s(h_0 + h_1 s + h_2 s^2) + s f_0 + k} \\[6pt] &= \frac{k}{k + (h_0 + f_0)s + h_1 s^2 + h_2 s^3} \end{aligned}

与えられた参照モデルは

W_{\mathrm{d}}(s) = \frac{1}{1 + \sigma s + \alpha_2 \sigma^2 s^2 + \alpha_3 \sigma^3 s^3}

であり、分子および分母の定数項が $1$ となっています。そこで、 $W(s)$ の分子・分母を $k$ で割って定数項を $1$ に正規化します。

W(s) = \frac{1}{1 + \left(\dfrac{h_0 + f_0}{k}\right)s + \left(\dfrac{h_1}{k}\right)s^2 + \left(\dfrac{h_2}{k}\right)s^3}

$W(s)$ と $W_{\mathrm{d}}(s)$ が恒等的に一致するためには、 $s$ の各次数の係数が等しくならなければなりません。したがって、満たすべき連立方程式は次のようになります。

$\begin{cases} \dfrac{h_0 + f_0}{k} = \sigma \\[10pt] \dfrac{h_1}{k} = \alpha_2 \sigma^2 \\[10pt] \dfrac{h_2}{k} = \alpha_3 \sigma^3 \end{cases}$

（分母を払った $\begin{cases} h_0 + f_0 = k\sigma \\ h_1 = k\alpha_2\sigma^2 \\ h_2 = k\alpha_3\sigma^3 \end{cases}$ という表現でも同値です）

(3) パラメータ $\sigma$ の導出

(2) の連立方程式のうち、未知の制御定数 $k$ を消去するために第3式を第2式で割ります。

\frac{\dfrac{h_2}{k}}{\dfrac{h_1}{k}} = \frac{\alpha_3 \sigma^3}{\alpha_2 \sigma^2}

左辺の $k$ 、右辺の $\sigma^2$ を約分すると、

\frac{h_2}{h_1} = \frac{\alpha_3}{\alpha_2}\sigma

これを $\sigma$ について解くと、次式が得られます。

$\sigma = \frac{\alpha_2 h_2}{\alpha_3 h_1}$

(4) 制御定数 $k$ の導出

(2) の連立方程式の第2式 $\dfrac{h_1}{k} = \alpha_2 \sigma^2$ を $k$ について解きます。

$k = \frac{h_1}{\alpha_2 \sigma^2}$

(5) 制御定数 $f_0$ の導出

(2) の連立方程式の第1式 $\dfrac{h_0 + f_0}{k} = \sigma$ を変形します。

h_0 + f_0 = k\sigma

これを $f_0$ について解きます。

$f_0 = k\sigma - h_0$

設計結果の総括

本問で設計したパラメータにより、制御系は次のように順次決定されます。

対象のパラメータ（ $h_1, h_2$ ）と目標応答の形状係数（ $\alpha_2, \alpha_3$ ）から、時間スケール $\sigma$ が一意に決まる（小問3）。
決まった $\sigma$ を用いて積分ゲイン $k$ が決定される（小問4）。
最後にフィードバックゲイン $f_0$ を設定することで、閉ループ特性が参照モデル $W_{\mathrm{d}}(s)$ と完全に一致する（小問5）。

各設問の最終解答：

(1) $W(s) = \displaystyle\frac{k}{s \cdot h(s) + sF(s) + k}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{h_0 + f_0}{k} = \sigma, & \dfrac{h_1}{k} = \alpha_2 \sigma^2, & \dfrac{h_2}{k} = \alpha_3 \sigma^3 \end{cases}$
(3) $\sigma = \displaystyle\frac{\alpha_2 h_2}{\alpha_3 h_1}$
(4) $k = \displaystyle\frac{h_1}{\alpha_2 \sigma^2}$
(5) $f_0 = k\sigma - h_0$