(1) $R(s) = 0,\ C(s) = K > 0$ のときの定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$

外乱から偏差への関係式に $R(s) = 0,\ C(s) = K$ を代入すると、

$$E(s) = -\frac{s(s+1)}{s(s+1) + K} D(s) = -\frac{s(s+1)}{s^2 + s + K} \cdot \frac{2}{s^2} = -\frac{2(s+1)}{s(s^2 + s + K)}$$

最終値の定理を適用して定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$ を求めます。

$$e_{\mathrm{v}} = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \left[ -\frac{2(s+1)}{s^2 + s + K} \right] = -\frac{2}{K}$$

（※偏差の大きさとして表す場合は $\dfrac{2}{K}$ となります）

$e_{\mathrm{v}} = -\frac{2}{K}$

(2) 減衰係数 $\zeta = 0.8$ に設定するための $K$ の値

閉ループ系の特性方程式は分母多項式より、

$$s^2 + s + K = 0$$

これを2次遅れ系の標準形 $s^2 + 2\zeta \omega_{\mathrm{n}} s + \omega_{\mathrm{n}}^2 = 0$ と係数比較します。

$$\begin{cases} 2\zeta \omega_{\mathrm{n}} = 1 \\ \omega_{\mathrm{n}}^2 = K \end{cases}$$

$\zeta = 0.8$ を代入すると、

$$\omega_{\mathrm{n}} = \frac{1}{2 \times 0.8} = \frac{1}{1.6} = 0.625\ \mathrm{rad/s}$$

したがって、$K$ の値は、

$$K = \omega_{\mathrm{n}}^2 = (0.625)^2 = \frac{25}{64} = 0.390625 \approx 0.391$$ $K \approx 0.391$ （または $\frac{25}{64}$）

(3) $C(s) = A \cdot \dfrac{s+1}{0.1s+1}$ のときの定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$

一巡伝達関数 $G(s)C(s)$ は、補償器の零点 $(s+1)$ と制御対象の極 $(s+1)$ が相殺（極零相殺）されるため、

$$C(s) \cdot \frac{1}{s(s+1)} = A \cdot \frac{s+1}{0.1s+1} \cdot \frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s(0.1s+1)}$$

となります。したがって、$R(s) = 0$ のときの偏差 $E(s)$ は、

$$E(s) = -\frac{1}{1 + \dfrac{A}{s(0.1s+1)}} D(s) = -\frac{s(0.1s+1)}{0.1s^2 + s + A} \cdot \frac{2}{s^2} = -\frac{2(0.1s+1)}{s(0.1s^2 + s + A)}$$

最終値の定理より、

$$e_{\mathrm{v}} = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \left[ -\frac{2(0.1s+1)}{0.1s^2 + s + A} \right] = -\frac{2}{A}$$ $e_{\mathrm{v}} = -\frac{2}{A}$

(4) 減衰定数 $\zeta = 0.8$ になるような $A$ の値

相殺後の閉ループ系の特性方程式は $0.1s^2 + s + A = 0$ です。最高次の係数を $1$ にするために全体を $0.1$ で割ると、

$$s^2 + 10s + 10A = 0$$

標準形 $s^2 + 2\zeta \omega_{\mathrm{n}} s + \omega_{\mathrm{n}}^2 = 0$ と係数比較します。

$$\begin{cases} 2\zeta \omega_{\mathrm{n}} = 10 \\ \omega_{\mathrm{n}}^2 = 10A \end{cases}$$

$\zeta = 0.8$ より、

$$\omega_{\mathrm{n}} = \frac{10}{2 \times 0.8} = \frac{10}{1.6} = 6.25\ \mathrm{rad/s}$$

したがって、$A$ の値は、

$$10A = \omega_{\mathrm{n}}^2 = (6.25)^2 = 39.0625 \implies A = 3.90625 \approx 3.91$$ $A \approx 3.91$ （または $\frac{125}{32}$）

(5) 固有角周波数 $\omega_{\mathrm{n}}$ の比較と応答速度の倍率

それぞれの固有角周波数 $\omega_{\mathrm{n}}$ は次の通りです。

• (2) の場合：$\omega_{\mathrm{n}(2)} = 0.625\ \mathrm{rad/s}$
• (4) の場合：$\omega_{\mathrm{n}(4)} = 6.25\ \mathrm{rad/s}$

減衰係数 $\zeta$ が同一である場合、系の応答速度は固有角周波数 $\omega_{\mathrm{n}}$ に比例します。その比をとると、

$$\frac{\omega_{\mathrm{n}(4)}}{\omega_{\mathrm{n}(2)}} = \frac{6.25}{0.625} = 10$$

したがって、(4)の場合は(2)の場合に比べて応答が $10$ 倍速くなります。

(2)のとき $\omega_{\mathrm{n}} = 0.625\ \mathrm{rad/s}$、(4)のとき $\omega_{\mathrm{n}} = 6.25\ \mathrm{rad/s}$、応答は $10$ 倍速くなる

(6) 定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$ の比較と偏差の倍率

それぞれの定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$ にパラメータを代入して求めます。

• (2) の場合：$e_{\mathrm{v}(2)} = -\dfrac{2}{K} = -\dfrac{2}{0.390625} = -5.12$
• (4) の場合：$e_{\mathrm{v}(4)} = -\dfrac{2}{A} = -\dfrac{2}{3.90625} = -0.512$

定常速度偏差の比をとると、

$$\frac{e_{\mathrm{v}(4)}}{e_{\mathrm{v}(2)}} = \frac{-0.512}{-5.12} = 0.1 = \frac{1}{10}$$

したがって、(4)の場合は(2)の場合に比べて定常速度偏差が $0.1$ 倍（$\dfrac{1}{10}$ 倍）になります。

(2)のとき $e_{\mathrm{v}} = -5.12$、(4)のとき $e_{\mathrm{v}} = -0.512$、定常速度偏差は $0.1$ 倍（$\frac{1}{10}$ 倍）