(1) フィードバック制御系の特性方程式の導出

問題のブロック線図

より、目標値 $R(s)$、制御量 $Y(s)$、制御偏差 $E(s)$ の関係は加算点において次のように表されます。

$$E(s) = R(s) - Y(s)$$

また、前向き伝達関数を $G(s)$ とおくと、

$$G(s) = \frac{K}{s} \cdot \frac{100}{(s+1)(s+40)} = \frac{100K}{s(s+1)(s+40)}$$

$$Y(s) = G(s)E(s) = G(s)\{R(s) - Y(s)\}$$

両辺を $Y(s)$ について整理すると、閉ループ伝達関数 $W(s) = \dfrac{Y(s)}{R(s)}$ は、

$$\{1 + G(s)\}Y(s) = G(s)R(s) \implies \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$$

フィードバック制御系の特性方程式は、閉ループ伝達関数の分母を $0$ と置いた式、すなわち $1 + G(s) = 0$ です。

$$1 + \frac{100K}{s(s+1)(s+40)} = 0$$

両辺に分母 $s(s+1)(s+40)$ を乗じて分母を払います。

$$s(s+1)(s+40) + 100K = 0$$

$(s+1)(s+40) = s^2 + 41s + 40$ より、

$$s(s^2 + 41s + 40) + 100K = 0$$

したがって、特性方程式は次のようになります。

$s^3 + 41s^2 + 40s + 100K = 0$

(2) フィードバック制御系を安定とする $K$ の条件

(1)で求めた特性多項式 $P(s) = s^3 + 41s^2 + 40s + 100K$ に対し、ラウスの安定判別法を適用します。

特性多項式の各係数を並べてラウス表を作成します。

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 40 \\ s^2 & 41 & 100K \\ s^1 & \dfrac{41 \times 40 - 1 \times 100K}{41} & 0 \\ s^0 & 100K & \end{array}$$

制御系が安定（すべての根の実部が負）であるための必要十分条件は、ラウス表の第1列の要素がすべて同符号（正）であることです。

1. 第1行: $1 > 0$ （成立）
2. 第2行: $41 > 0$ （成立）
3. 第3行: $\dfrac{1640 - 100K}{41} > 0 \implies 1640 - 100K > 0 \implies K < 16.4$
4. 第4行: $100K > 0 \implies K > 0$

以上を同時に満たす範囲を求めて、求める $K$ の条件は次のようになります。

$0 < K < 16.4$

(3) 目標値 $R(s)$ から制御偏差 $E(s)$ までの伝達関数 $T_{\mathrm{ER}}(s)$

偏差 $E(s)$ の定義式に $Y(s) = G(s)E(s)$ を代入します。

$$E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - G(s)E(s)$$

$$\{1 + G(s)\}E(s) = R(s)$$

したがって、伝達関数 $T_{\mathrm{ER}}(s) = \dfrac{E(s)}{R(s)}$ は次のように表されます。

$$T_{\mathrm{ER}}(s) = \frac{1}{1 + G(s)}$$

ここに $G(s) = \dfrac{100K}{s(s+1)(s+40)}$ を代入します。

$$T_{\mathrm{ER}}(s) = \frac{1}{1 + \dfrac{100K}{s(s+1)(s+40)}} = \frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40) + 100K}$$

分母・分子を展開して整理すると、次のようになります（因数分解形でも展開形でも正解です）。

$T_{\mathrm{ER}}(s) = \frac{s(s+1)(s+40)}{s^3 + 41s^2 + 40s + 100K} \quad \left( = \frac{s^3 + 41s^2 + 40s}{s^3 + 41s^2 + 40s + 100K} \right)$

(4) 傾き $2$ のランプ入力に対する定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$

1. 安定性の確認:
与えられたゲイン $K = 2$ は、(2)で求めた安定限界 $0 < K < 16.4$ を満たしているため、閉ループ系は安定であり、最終値の定理が適用可能です。

2. 入力のラプラス変換:
目標値は傾き $2$ のランプ関数なので、$r(t) = 2t$ です。これをラプラス変換すると、

$$R(s) = \frac{2}{s^2}$$

3. 偏差 $E(s)$ の立式:
(3)で求めた伝達関数に $K = 2$ を代入すると、

$$E(s) = T_{\mathrm{ER}}(s)R(s) = \frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40) + 200} \cdot \frac{2}{s^2}$$

4. 最終値の定理の適用:
定常速度偏差 $e_{\mathrm{v}}$ は次のように計算されます。

$$\begin{aligned} e_{\mathrm{v}} &= \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} sE(s) \\ &= \lim_{s \to 0} \left\{ s \cdot \frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40) + 200} \cdot \frac{2}{s^2} \right\} \\ &= \lim_{s \to 0} \frac{2(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40) + 200} \\ &= \frac{2 \times 1 \times 40}{0 + 200} = \frac{80}{200} = 0.4 \end{aligned}$$

したがって、定常速度偏差は次のようになります。

$e_{\mathrm{v}} = 0.4$

(5) 正弦波目標値に対する定常偏差の振幅 $B$

目標値 $r(t) = 2\sin t$ より、入力の振幅は $A = 2$、角周波数は $\omega = 1\ \mathrm{rad/s}$ です。

安定な線形時不変系に角周波数 $\omega$ の正弦波を入力したとき、十分時間が経過した定常状態における出力（ここでは偏差 $e(t)$）も同一角周波数の正弦波となり、その振幅 $B$ は**「入力振幅 $\times$ 周波数伝達関数の絶対値（ゲイン）」**で与えられます。

$$B = 2 \times \left|T_{\mathrm{ER}}(j\omega)\right|_{\omega=1} = 2 \left|T_{\mathrm{ER}}(j)\right|$$

$K=2$ における伝達関数 $T_{\mathrm{ER}}(s) = \dfrac{s(s+1)(s+40)}{s^3 + 41s^2 + 40s + 200}$ に $s = j$（$j^2 = -1, j^3 = -j$）を代入します。

分子の計算:

$$j(j+1)(j+40) = j(j^2 + 41j + 40) = j(-1 + 41j + 40) = j(39 + 41j) = -41 + 39j$$

分母の計算:

$$j^3 + 41j^2 + 40j + 200 = -j - 41 + 40j + 200 = 159 + 39j$$

したがって、周波数伝達関数は、

$$T_{\mathrm{ER}}(j) = \frac{-41 + 39j}{159 + 39j}$$

それぞれの絶対値を計算します。

$$\left|T_{\mathrm{ER}}(j)\right| = \frac{|-41 + 39j|}{|159 + 39j|} = \sqrt{\frac{(-41)^2 + 39^2}{159^2 + 39^2}} = \sqrt{\frac{1681 + 1521}{25281 + 1521}} = \sqrt{\frac{3202}{26802}} = \sqrt{\frac{1601}{13401}}$$

電卓を用いて数値を算出すると、

$$\left|T_{\mathrm{ER}}(j)\right| \approx \sqrt{0.1194687} \approx 0.34564$$

求める定常偏差の振幅 $B$ は、

$$B = 2 \times 0.34564 \approx 0.69128 \implies 0.691$$

したがって、振幅 $B$ の値は次のようになります。

$B \approx 0.691$