【準備】一巡伝達関数と閉ループ特性多項式の計算

与えられた補償器 $G_{\mathrm{C}}(s) = \dfrac{4(s+1)}{s+2}$ と制御対象 $G_{\mathrm{P}}(s) = \dfrac{1}{s(s^2+5s+5)}$ より、一巡伝達関数は以下のようになります。

$$G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s) = \frac{4(s+1)}{s(s+2)(s^2+5s+5)}$$

分母多項式を展開します。

$$\begin{aligned} s(s+2)(s^2+5s+5) &= s\left(s^3 + 5s^2 + 5s + 2s^2 + 10s + 10\right) \\ &= s\left(s^3 + 7s^2 + 15s + 10\right) \\ &= s^4 + 7s^3 + 15s^2 + 10s \end{aligned}$$

したがって、特性多項式（閉ループ系の共通分母）は次のようになります。

$$\begin{aligned} s(s+2)(s^2+5s+5) + 4(s+1) &= s^4 + 7s^3 + 15s^2 + 10s + 4s + 4 \\ &= s^4 + 7s^3 + 15s^2 + 14s + 4 \end{aligned}$$

この特性多項式についてラウスの安定判別を行うと、第1列の数列は $1, \ 7, \ 13, \ \dfrac{154}{13}, \ 4$ となりすべて正であるため、この閉ループ系は安定です。これにより、最終値の定理が適用可能です。

(1) $D(s)=0$ のときの $R(s)$ から $E(s)$ までの伝達関数

より、外乱 $D(s)=0$ のとき、各信号の関係式は以下の通りです。

$$E(s) = R(s) - Y(s)$$ $$Y(s) = G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s)E(s)$$

$Y(s)$ を消去して整理します。

$$E(s) = R(s) - G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s)E(s) \implies \left\{1 + G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s)\right\}E(s) = R(s)$$ $$\begin{aligned} \frac{E(s)}{R(s)} &= \frac{1}{1 + G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s)} \\ &= \frac{1}{1 + \dfrac{4(s+1)}{s(s+2)(s^2+5s+5)}} \\ &= \frac{s(s+2)(s^2+5s+5)}{s(s+2)(s^2+5s+5) + 4(s+1)} \end{aligned}$$

分子・分母を展開すると、求める伝達関数が得られます。

$$\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{s^4+7s^3+15s^2+10s}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4}$$

※ 分子を因数分解した形 $\dfrac{s(s+2)(s^2+5s+5)}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4}$ でも正解です。

(2) ステップ信号入力時の定常偏差

の図2に示す大きさ $a$ のステップ信号のラプラス変換は $R(s) = \dfrac{a}{s}$ です。
最終値の定理を適用して、定常偏差 $e_{\mathrm{ss}} = \lim_{t \to \infty} e(t)$ を求めます。

$$\begin{aligned} e_{\mathrm{ss}} &= \lim_{s \to 0} s E(s) \\ &= \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s(s+2)(s^2+5s+5)}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \cdot \frac{a}{s} \\ &= \lim_{s \to 0} \frac{s(s+2)(s^2+5s+5) \cdot a}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \\ &= \frac{0 \cdot 2 \cdot 5 \cdot a}{4} = 0 \end{aligned}$$

したがって、定常偏差は次の通りです。

$$0$$

※ 一巡伝達関数が原点に極（$1/s$、積分動作）を1つ持つ「型番号1（Type 1）」の制御系であるため、ステップ目標値に対する定常偏差は $0$ になります。

(3) ランプ信号入力時の定常偏差

の図3に示す傾き $b$ のランプ信号のラプラス変換は $R(s) = \dfrac{b}{s^2}$ です。
最終値の定理を適用します。

$$\begin{aligned} e_{\mathrm{ss}} &= \lim_{s \to 0} s E(s) \\ &= \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s(s+2)(s^2+5s+5)}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \cdot \frac{b}{s^2} \\ &= \lim_{s \to 0} \frac{(s+2)(s^2+5s+5) \cdot b}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \\ &= \frac{2 \times 5 \times b}{4} = \frac{10}{4}b = \frac{5}{2}b \end{aligned}$$

したがって、定常偏差は次の通りです。

$$\frac{5}{2}b$$

(4) $R(s)=0$ のときの $D(s)$ から $Y(s)$ までの伝達関数

目標値 $R(s)=0$ のとき、偏差は $E(s) = 0 - Y(s) = -Y(s)$ となります。
ブロック線図より、外乱加算点の出力信号は $D(s) + G_{\mathrm{C}}(s)E(s) = D(s) - G_{\mathrm{C}}(s)Y(s)$ となるので、制御量 $Y(s)$ は次式で表されます。

$$Y(s) = G_{\mathrm{P}}(s)\left\{D(s) - G_{\mathrm{C}}(s)Y(s)\right\}$$ $$Y(s) + G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s)Y(s) = G_{\mathrm{P}}(s)D(s)$$ $$\frac{Y(s)}{D(s)} = \frac{G_{\mathrm{P}}(s)}{1 + G_{\mathrm{C}}(s)G_{\mathrm{P}}(s)}$$

伝達関数を代入して整理します。

$$\begin{aligned} \frac{Y(s)}{D(s)} &= \frac{\dfrac{1}{s(s^2+5s+5)}}{1 + \dfrac{4(s+1)}{s(s+2)(s^2+5s+5)}} \\ &= \frac{s+2}{s(s+2)(s^2+5s+5) + 4(s+1)} \\ &= \frac{s+2}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \end{aligned}$$

したがって、伝達関数は以下のようになります。

$$\frac{Y(s)}{D(s)} = \frac{s+2}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4}$$

(5) 外乱ステップ印加時の制御量の最終値

外乱が大きさ $a$ のステップ信号のとき、$D(s) = \dfrac{a}{s}$ です。
閉ループ系は安定であるため、最終値の定理より最終値 $y(\infty) = \lim_{t \to \infty} y(t)$ を求めます。

$$\begin{aligned} y(\infty) &= \lim_{s \to 0} s Y(s) \\ &= \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s+2}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \cdot \frac{a}{s} \\ &= \lim_{s \to 0} \frac{(s+2)a}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \\ &= \frac{2a}{4} = \frac{a}{2} \end{aligned}$$

したがって、制御量の最終値は次の通りです。

$$\frac{a}{2}$$

※ 外乱印加点より前方に積分器がないため、ステップ外乱の影響を完全には相殺できず、定常値として $\dfrac{a}{2}$ が残留します。

(6) 外乱ランプ印加時に制御量が発散することの証明

外乱が傾き $b$ のランプ信号のとき、$D(s) = \dfrac{b}{s^2}$ です。制御量 $Y(s)$ は、

$$Y(s) = \frac{s+2}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} \cdot \frac{b}{s^2}$$

となります。閉ループ極（分母多項式 $s^4+7s^3+15s^2+14s+4=0$ の根）の実部はすべて負であり、分母の原点極は $s^2$（2重極）です。
$Y(s)$ を部分分数分解すると、以下の形になります。

$$Y(s) = \frac{C_1}{s^2} + \frac{C_2}{s} + (\text{安定極に起因する項})$$

ここで、原点2重極の係数 $C_1$ を求めると、

$$C_1 = \lim_{s \to 0} s^2 Y(s) = \lim_{s \to 0} \frac{(s+2)b}{s^4+7s^3+15s^2+14s+4} = \frac{2b}{4} = \frac{b}{2} \neq 0$$

これを逆ラプラス変換すると、時間領域の応答 $y(t)$ は次のようになります。

$$y(t) = \frac{b}{2}t + C_2 + (\text{過渡減衰項})$$

過渡項は $t \to \infty$ で $0$ に減衰しますが、第1項にランプ項 $\dfrac{b}{2}t$ が残るため、$b \neq 0$ のとき $t \to \infty$ において $y(t)$ は発散します（$b > 0$ のとき $\lim_{t \to \infty} y(t) = +\infty$）。

したがって、制御量は発散することが示されました。

制御量 $Y(s)$ は原点に2重極をもち、時間領域の応答に $\dfrac{b}{2}t$ のランプ項が含まれるため、$t \to \infty$ において発散する。