(1) 制御対象の単位インパルス応答

単位インパルス入力 $\delta(t)$ のラプラス変換は $1$ です。したがって、制御対象単体の出力 $Y(s)$ は伝達関数そのものとなります。

$$Y(s) = G(s) \cdot 1 = \frac{1}{s^2 + 4} = \frac{1}{s^2 + 2^2}$$

正弦波の逆ラプラス変換の公式を適用できるよう、係数を調整します。

$$Y(s) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^2 + 2^2}$$

両辺を逆ラプラス変換すると、求めるインパルス応答 $g(t)$ は次のようになります。

$$g(t) = \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2t \quad (t \ge 0)$$

(2) $F(s)=0$ のときの伝達関数 $\displaystyle\frac{E(s)}{R(s)}$

図

より、ブロック線図の基本関係式を立てます。

$$\begin{aligned} E(s) &= R(s) - Y(s) & \cdots ① \\[5pt] U(s) &= C_1(s)E(s) - C_2(s)Y(s) & \cdots ② \\[5pt] Y(s) &= G(s)U(s) & \cdots ③ \end{aligned}$$

③式を②式に代入して $U(s)$ について整理します。

$$\begin{aligned} U(s) &= C_1(s)E(s) - C_2(s)G(s)U(s) \\[5pt] \{1 + C_2(s)G(s)\}U(s) &= C_1(s)E(s) \\[5pt] U(s) &= \frac{C_1(s)}{1 + C_2(s)G(s)}E(s) \end{aligned}$$

これを $Y(s) = G(s)U(s)$ に代入すると、$Y(s) = \displaystyle\frac{C_1(s)G(s)}{1 + C_2(s)G(s)}E(s)$ となり、①式に代入します。

$$\begin{aligned} E(s) &= R(s) - \frac{C_1(s)G(s)}{1 + C_2(s)G(s)}E(s) \\[5pt] R(s) &= \left[ 1 + \frac{C_1(s)G(s)}{1 + C_2(s)G(s)} \right] E(s) = \frac{1 + C_1(s)G(s) + C_2(s)G(s)}{1 + C_2(s)G(s)} E(s) \\[5pt] \frac{E(s)}{R(s)} &= \frac{1 + C_2(s)G(s)}{1 + C_1(s)G(s) + C_2(s)G(s)} \end{aligned}$$

与えられた各関数 $G(s) = \displaystyle\frac{1}{s^2+4}$、$C_1(s) = K_1\left(1 + \frac{1}{s}\right) = \frac{K_1(s+1)}{s}$、$C_2(s) = K_2 s$ を代入します。

$$\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1 + K_2 s \cdot \displaystyle\frac{1}{s^2+4}}{1 + \frac{K_1(s+1)}{s} \cdot \displaystyle\frac{1}{s^2+4} + K_2 s \cdot \displaystyle\frac{1}{s^2+4}}$$

分子・分母に $s(s^2+4)$ を乗じて整理します。

$$\begin{aligned} \frac{E(s)}{R(s)} &= \frac{s(s^2+4) + K_2 s^2}{s(s^2+4) + K_1(s+1) + K_2 s^2} \\[5pt] &= \frac{s^3 + 4s + K_2 s^2}{s^3 + 4s + K_1 s + K_1 + K_2 s^2} \end{aligned}$$

降べきの順に整理すると、求める伝達関数が得られます。

$\displaystyle\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{s^3 + K_2 s^2 + 4s}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1 + 4)s + K_1} \quad \left( = \frac{s(s^2 + K_2 s + 4)}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1 + 4)s + K_1} \right)$

(3) 制御系が安定限界となるときの条件と応答

閉ループ系の特性方程式は、(2)で求めた伝達関数の分母多項式を $0$ と置いたものです。

$$D(s) = s^3 + K_2 s^2 + (K_1 + 4)s + K_1 = 0$$

ラウスの安定判別法を適用するためにラウス表を作成します。

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & K_1 + 4 \ s^2 & K_2 & K_1 \ s^1 & \displaystyle\frac{K_2(K_1+4) - K_1}{K_2} & 0 \ s^0 & K_1 & \end{array}$$

$K_1 > 0$、$K_2 > 0$ であるため、系が安定限界となるのは $s^1$ 行の第1列要素が $0$ になるときです。

$$\frac{K_2(K_1 + 4) - K_1}{K_2} = 0 \implies K_2(K_1 + 4) = K_1 \quad \left( \text{または } K_2 = \frac{K_1}{K_1+4} \right)$$

【安定限界における応答】
この条件 $K_1 = K_2(K_1+4)$ を特性方程式に代入して因数分解すると、

$$D(s) = s^3 + K_2 s^2 + (K_1 + 4)s + K_2(K_1 + 4) = (s + K_2)(s^2 + K_1 + 4) = 0$$

特性根は $s = -K_2$ および純虚数根 $s = \pm j\sqrt{K_1+4}$ となります。実部が負の根 $s = -K_2$ による成分は減衰しますが、虚軸上の根 $s = \pm j\sqrt{K_1+4}$ による成分は減衰も発散もしません。したがって、制御系は振幅が減衰しない持続振動（等振幅の周期振動）を示します。

関係：$K_2(K_1 + 4) = K_1$（または $K_1 K_2 + 4K_2 - K_1 = 0$）
応答：減衰しない一定振幅の持続振動（角周波数 $\omega = \sqrt{K_1 + 4}\ [\mathrm{rad/s}]$ の振動）を示す。

(4) 空欄 (a)～(f) の導出

図

のブロック線図から関係式を立てます。

操作量 $U(s)$ の合流点に注目すると、

$$U(s) = F(s)R(s) + C_1(s)E(s) - C_2(s)Y(s)$$

ここで $Y(s) = G(s)U(s)$ を代入すると、

$$U(s) = F(s)R(s) + C_1(s)E(s) - C_2(s)G(s)U(s)$$

また、偏差 $E(s)$ の合流点に注目すると、

$$E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - G(s)U(s)$$

問題文の式形式と係数を比較することで、空欄 (a)～(d) が求まります。

• (a)：$F(s)$
• (b)：$C_1(s)$
• (c)：$C_2(s)G(s)$
• (d)：$G(s)$

続いて、$U(s)$ を消去して伝達関数 $\displaystyle\frac{E(s)}{R(s)}$ を求めます。
$U(s)$ の式をまとめると、

$$\{1 + C_2(s)G(s)\}U(s) = F(s)R(s) + C_1(s)E(s) \implies U(s) = \frac{F(s)R(s) + C_1(s)E(s)}{1 + C_2(s)G(s)}$$

これを $E(s) = R(s) - G(s)U(s)$ に代入します。

$$\begin{aligned} E(s) &= R(s) - G(s)\frac{F(s)R(s) + C_1(s)E(s)}{1 + C_2(s)G(s)} \\[5pt] \{1 + C_2(s)G(s)\}E(s) &= \{1 + C_2(s)G(s)\}R(s) - F(s)G(s)R(s) - C_1(s)G(s)E(s) \\[5pt] \{1 + C_1(s)G(s) + C_2(s)G(s)\}E(s) &= \{1 + C_2(s)G(s) - F(s)G(s)\}R(s) \end{aligned}$$

両辺を整理して比を取ると、

$$\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1 + \{C_2(s)G(s) - F(s)G(s)\}}{1 + \{C_1(s)G(s) + C_2(s)G(s)\}}$$

問題文の形式 $\displaystyle\frac{1 + \fbox{ (e) }}{1 + \fbox{ (f) }}$ と比較して、空欄 (e) および (f) が定まります。

(a) $F(s)$
(b) $C_1(s)$
(c) $C_2(s)G(s)$
(d) $G(s)$
(e) $C_2(s)G(s) - F(s)G(s)$　（または $\{C_2(s)-F(s)\}G(s)$）
(f) $C_1(s)G(s) + C_2(s)G(s)$　（または $\{C_1(s)+C_2(s)\}G(s)$）

(5) ランプ状目標値 $r(t)=t$ に対する定常偏差

(4)で得た伝達関数に、$F(s)=4$、$C_1(s)=K_1\left(1+\displaystyle\frac{1}{s}\right) = \frac{K_1(s+1)}{s}$、$C_2(s)=K_2 s$、$G(s)=\displaystyle\frac{1}{s^2+4}$ を代入します。

$$\begin{aligned} \frac{E(s)}{R(s)} &= \frac{1 + K_2 s \cdot \frac{1}{s^2+4} - 4 \cdot \frac{1}{s^2+4}}{1 + \frac{K_1(s+1)}{s(s^2+4)} + \frac{K_2 s}{s^2+4}} \\[5pt] &= \frac{s(s^2+4) + K_2 s^2 - 4s}{s(s^2+4) + K_1(s+1) + K_2 s^2} \end{aligned}$$

分子の $4s$ と $-4s$ が相殺されるため、

$$\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{s^3 + K_2 s^2}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1+4)s + K_1} = \frac{s^2(s + K_2)}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1+4)s + K_1}$$

ランプ状の目標値 $r(t)=t$ のラプラス変換は $R(s) = \displaystyle\frac{1}{s^2}$ です。したがって、偏差 $E(s)$ は次のようになります。

$$E(s) = \frac{E(s)}{R(s)} R(s) = \frac{s^2(s + K_2)}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1+4)s + K_1} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{s + K_2}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1+4)s + K_1}$$

系が安定である（$K_2(K_1+4) > K_1$）とき、最終値の定理を適用して定常偏差 $e_{\mathrm{ss}}$ を求めます。

$$e_{\mathrm{ss}} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \left[ s \cdot \frac{s + K_2}{s^3 + K_2 s^2 + (K_1+4)s + K_1} \right] = 0 \cdot \frac{K_2}{K_1} = 0$$

$0$