(1) 制御対象単体の単位ステップ応答 $y(t)$

外乱 $D(s)=0$ とし、制御対象 $\dfrac{1}{s(s+1)}$ の入力として単位ステップ関数 $u(t)=1$（ラプラス変換 $U(s) = \dfrac{1}{s}$）を与えたときの出力 $Y(s)$ は、次のようになります。

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)} U(s) = \frac{1}{s^2(s+1)}$$

これを部分分数分解します。

$$\frac{1}{s^2(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s+1}$$

両辺に $s^2(s+1)$ を掛けると、

$$1 = A s(s+1) + B(s+1) + C s^2 = (A + C)s^2 + (A + B)s + B$$

各次数の係数を比較すると、

• 定数項：$B = 1$
• $s^1$ の係数：$A + B = 0 \implies A = -1$
• $s^2$ の係数：$A + C = 0 \implies C = 1$

したがって、$Y(s)$ は次のように展開されます。

$$Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s+1}$$

各項をラプラス逆変換すると、出力応答 $y(t)$ が求まります。

$$y(t) = t - 1 + \mathrm{e}^{-t} \quad (t \geqq 0)$$

(2) 補償器単体の伝達関数 $\dfrac{U(s)}{E(s)}$

問題図

の点線で囲まれた補償器に注目します。
内部の加算点では、外部からの偏差 $E(s)$ に、出力 $U(s)$ を積分要素 $\dfrac{1}{s}$ に通した信号が正帰還（加算）されています。

したがって、関係式は以下の通りです。

$$U(s) = C(s) \left\{ E(s) + \frac{1}{s} U(s) \right\}$$

$U(s)$ について整理します。

$$U(s) - \frac{C(s)}{s} U(s) = C(s) E(s)$$$$\left( 1 - \frac{C(s)}{s} \right) U(s) = C(s) E(s)$$$$\frac{s - C(s)}{s} U(s) = C(s) E(s)$$

両辺を $E(s)$ で割り、伝達関数を求めます。

$$\frac{U(s)}{E(s)} = \frac{s C(s)}{s - C(s)}$$

(3) 外乱 $D(s)$ から偏差 $E(s)$ までの伝達関数 $\dfrac{E(s)}{D(s)}$

目標値 $R(s) = 0$ のとき、偏差は $E(s) = -Y(s)$（すなわち $Y(s) = -E(s)$）となります。
補償器全体の伝達関数を $G_c(s) = \dfrac{s C(s)}{s - C(s)}$、制御対象を $P(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ と置きます。

出力 $Y(s)$ は、制御入力からの応答と外乱の和であるため、

$$Y(s) = P(s) U(s) + D(s) = P(s) G_c(s) E(s) + D(s)$$

$Y(s) = -E(s)$ を代入すると、

$$-E(s) = P(s) G_c(s) E(s) + D(s)$$$$\{ 1 + P(s) G_c(s) \} E(s) = -D(s)$$$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{1}{1 + P(s) G_c(s)}$$

ここで、一巡伝達関数 $P(s) G_c(s)$ を計算します。

$$P(s) G_c(s) = \frac{1}{s(s+1)} \cdot \frac{s C(s)}{s - C(s)} = \frac{C(s)}{(s+1)\{s - C(s)\} }$$

分母を共通通分して整理します。

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{1}{1 + \dfrac{C(s)}{(s+1)\{s - C(s)\}} } = -\frac{(s+1)\{s - C(s)\}}{(s+1)\{s - C(s)\} + C(s)}$$

分母を展開・整理すると、

$$(s+1)\{s - C(s)\} + C(s) = s(s+1) - (s+1)C(s) + C(s) = s(s+1) - s C(s) = s\{s + 1 - C(s)\}$$

したがって、求める伝達関数は次のようになります。

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{(s+1)\{s - C(s)\}}{s\{s + 1 - C(s)\} }$$

(4) ランプ外乱入力に対する定常速度偏差

$C(s) = \dfrac{s}{Ts+1}$ を代入します。
ここで補償器全体の伝達関数 $G_c(s)$ を計算すると、

$$G_c(s) = \frac{s C(s)}{s - C(s)} = \frac{s \cdot \dfrac{s}{Ts+1}}{s - \dfrac{s}{Ts+1}} = \frac{s^2}{s(Ts+1) - s} = \frac{s^2}{Ts^2} = \frac{1}{T}$$

となり、補償器全体は純粋な比例ゲイン $\dfrac{1}{T}$ として機能することが分かります。
これより、外乱から偏差への伝達関数は次のようにシンプルに表せます。

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{1}{1 + P(s) G_c(s)} = -\frac{1}{1 + \dfrac{1}{T s(s+1)}} = -\frac{Ts(s+1)}{Ts(s+1) + 1} = -\frac{Ts(s+1)}{Ts^2 + Ts + 1}$$

外乱がランプ関数 $d(t) = t \ (t \geqq 0)$ のとき、$D(s) = \dfrac{1}{s^2}$ であるため、

$$E(s) = -\frac{Ts(s+1)}{Ts^2 + Ts + 1} \cdot \frac{1}{s^2} = -\frac{T(s+1)}{s(Ts^2 + Ts + 1)}$$

特性多項式 $Ts^2 + Ts + 1 = 0$ は $T > 0$ において安定（極がすべて左半平面）であるため、最終値の定理が適用できます。

$$e_{\mathrm{ss}} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \left( -\frac{T(s+1)}{Ts^2 + Ts + 1} \right) = -T$$$$-T \quad (\text{偏差の絶対値としては } T)$$

(5) 外乱の影響を偏差に現れないようにするための時定数 $T$ の選定

(4)で求めた外乱から偏差への伝達関数は、

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{Ts(s+1)}{Ts^2 + Ts + 1}$$

であり、定常速度偏差は $-T$ です。
したがって、外乱 $d(t)$ の影響が偏差 $e(t)$ に現れないようにするには、伝達関数の分子を $0$ に近づけるため、次のように選定します。

時定数 $T$ をできるだけ小さく選ぶ（理想的には $T \to 0$ とする）。

※ $T \to 0$ とすることで $\dfrac{E(s)}{D(s)} \to 0$ となり、外乱の影響を過渡的にも定常的にも完全に抑圧できます（物理的には補償器の比例ゲイン $\dfrac{1}{T}$ を極めて大きくすることに相当します）。

(6) 補償器を $K_1 + \dfrac{K_2}{s}$ に置き換えたときの安定条件

点線で囲まれた補償器全体を $G_c(s) = K_1 + \dfrac{K_2}{s} = \dfrac{K_1 s + K_2}{s}$ に置き換えます。
開ループ（一巡）伝達関数 $L(s)$ は、

$$L(s) = G_c(s) P(s) = \frac{K_1 s + K_2}{s} \cdot \frac{1}{s(s+1)} = \frac{K_1 s + K_2}{s^2(s+1)}$$

フィードバック制御系の閉ループ特性方程式 $1 + L(s) = 0$ は、

$$s^2(s+1) + (K_1 s + K_2) = 0 \implies s^3 + s^2 + K_1 s + K_2 = 0$$

ラウスの安定判別法を適用するためにラウス数表を作成します。

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & K_1 \\[8pt] s^2 & 1 & K_2 \\[8pt] s^1 & \dfrac{1 \cdot K_1 - 1 \cdot K_2}{1} = K_1 - K_2 & 0 \\[8pt] s^0 & K_2 & \end{array}$$

制御系が安定であるための必要十分条件は、ラウス数表の第1列のすべての要素が同符号（正）であることです。

1. $s^3$ の係数：$1 > 0$
2. $s^2$ の係数：$1 > 0$
3. $s^1$ の要素：$K_1 - K_2 > 0 \implies K_1 > K_2$
4. $s^0$ の要素：$K_2 > 0$

これらを同時に満たす範囲をまとめると、求める条件が得られます。

$$K_1 > K_2 > 0$$