(1) $U(s)$ から $Y(s)$ までの伝達関数

の点線内部（マイナーループ）に着目します。内側のフィードバックループにおける前向き要素は $\displaystyle G_p(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+5)}$、帰還要素は $H_1(s) = K_2 s$（負帰還）です。

加算点と出力の関係式を立てると、$$Y(s) = G_p(s) \left[ U(s) - K_2 s Y(s) \right]$$

両辺に $s(s+1)(s+5) = s(s^2+6s+5)$ を乗じて整理します。$$\left\{ s(s^2+6s+5) \right\} Y(s) = U(s) - K_2 s Y(s)$$$$\left\{ s(s^2+6s+5) + K_2 s \right\} Y(s) = U(s)$$$$s \left( s^2 + 6s + K_2 + 5 \right) Y(s) = U(s)$$

したがって、$U(s)$ から $Y(s)$ までの伝達関数は次のようになります。

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s(s^2 + 6s + K_2 + 5)} \quad \left( = \frac{1}{s^3 + 6s^2 + (K_2 + 5)s} \right)$$

(2) $R(s)$ から $Y(s)$ までの伝達関数

(1)で求めた伝達関数を $\displaystyle G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s(s^2+6s+K_2+5)}$ とおきます。

系全体は、比例ゲイン $K_1$ と $G(s)$ が直列に接続された前向き要素 $K_1 G(s)$ に対して、出力 $Y(s)$ をそのまま差し引く単位負フィードバック系となっています。したがって、閉ループ伝達関数 $\displaystyle \frac{Y(s)}{R(s)}$ は次のように表されます。$$\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{K_1 G(s)}{1 + K_1 G(s)}$$

$G(s)$ の分母・分子を代入して整理します。 $$\begin{align*} \frac{Y(s)}{R(s)} &= \frac{K_1 \cdot \frac{1}{s(s^2+6s+K_2+5)}}{1 + K_1 \cdot \frac{1}{s(s^2+6s+K_2+5)}} \\ &= \htmlClass{answer-mark}{\frac{K_1}{s(s^2+6s+K_2+5) + K_1}} \end{align*}$$

(3) 安定条件および安定限界における持続振動の角周波数 $\omega_c$

1. 安定条件の導出（ラウスの安定判別法）

(2)で求めた閉ループ伝達関数の分母を $0$ とおいた特性方程式は次の通りです。$$s^3 + 6s^2 + (K_2 + 5)s + K_1 = 0$$

これに対するラウス配列を作成します。

行	第1列	第2列
$s^3$	$1$	$K_2+5$
$s^2$	$6$	$K_1$
$s^1$	$\displaystyle \frac{6(K_2+5) - 1 \cdot K_1}{6}$	$0$
$s^0$	$K_1$

系が安定であるための必要十分条件は、ラウス配列の第1列の要素がすべて同符号（正）であることです。$$K_1 > 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{6(K_2+5) - K_1}{6} > 0 \implies K_1 < 6(K_2 + 5)$$

これらをまとめると、安定条件は $0 < K_1 < 6(K_2+5)$（ただし $K_2 > -5$）となります。

2. 安定限界における持続振動の角周波数 $\omega_c$

安定限界は第1列の $s^1$ の要素が $0$ になるとき、すなわち $K_1 = 6(K_2+5)$ のときです。このとき、1つ上の $s^2$ 行より補助方程式を作ると、$$6s^2 + K_1 = 0 \implies 6s^2 + 6(K_2 + 5) = 0 \implies s^2 + (K_2 + 5) = 0$$

持続振動状態では極が虚軸上にあるため $s = j\omega_c$ と置くと、$$(j\omega_c)^2 + (K_2+5) = 0 \implies -\omega_c^2 + (K_2+5) = 0 \implies \omega_c = \sqrt{K_2+5} \quad (\omega_c > 0)$$

$$\text{安定条件：} 0 < K_1 < 6(K_2 + 5) \quad (\text{または } K_1 > 0, \ K_2 > \frac{K_1}{6}-5), \quad \omega_c = \sqrt{K_2 + 5}$$

(4) ランプ入力に対する定常速度偏差

目標値 $R(s)$ から偏差 $E(s) = R(s) - Y(s)$ までの伝達関数は、$$E(s) = \left[ 1 - \frac{Y(s)}{R(s)} \right] R(s) = \frac{s(s^2 + 6s + K_2 + 5)}{s^3 + 6s^2 + (K_2 + 5)s + K_1} R(s)$$

目標値がランプ関数 $r(t) = t$ のとき、$\displaystyle R(s) = \frac{1}{s^2}$ です。最終値の定理を適用して定常偏差 $e_{\mathrm{ss}}$ を求めます。$$\begin{align*}e_{\mathrm{ss}} &= \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s E(s) \\ &= \lim_{s \to 0} \left\{ s \cdot \frac{s(s^2 + 6s + K_2 + 5)}{s^3 + 6s^2 + (K_2 + 5)s + K_1} \cdot \frac{1}{s^2} \right\} \\ &= \lim_{s \to 0} \frac{s^2 + 6s + K_2 + 5}{s^3 + 6s^2 + (K_2 + 5)s + K_1} \\ &= \htmlClass{answer-mark}{\frac{K_2 + 5}{K_1}}\end{align*}$$

(5) パラメータ変化に伴う特性の変化

a. $K_1$ を固定して $K_2$ を大きくした場合

• 速応性：$K_2$ は出力の微分値（速度成分）をフィードバックする要素であり、大きくすると系に対する制動（ブレーキ）効果が強まる（過制動に近づく）。また開ループ伝達関数のゲイン定数が低下するため、立ち上がりが遅くなり、速応性は低下する。
• 定常特性：(4)より定常速度偏差は $\displaystyle e_{\mathrm{ss}} = \frac{K_2+5}{K_1}$ である。$K_2$ を大きくすると定常速度偏差が増大するため、定常特性は悪化（低下）する。

b. $K_2$ を固定して $K_1$ を大きくした場合

• 減衰特性：(3)より安定限界は $K_1 = 6(K_2+5)$ である。$K_1$ を大きくすると安定限界に近づくため、極が虚軸に接近して系の減衰比が小さくなり振動的になる。したがって、減衰特性は悪化する。
• 定常特性：(4)より定常速度偏差は $\displaystyle e_{\mathrm{ss}} = \frac{K_2+5}{K_1}$ である。$K_1$ を大きくすると定常速度偏差が減少するため、定常特性は改善（向上）する。

a. $K_2$ を大きくすると、速度フィードバックによる制動効果が増大してゲインが低下するため速応性は低下し、定常速度偏差が増大するため定常特性は悪化する。

b. $K_1$ を大きくすると、安定限界に近づいて系が振動的になるため減衰特性は悪化し、定常速度偏差が減少するため定常特性は改善する。