(1) 安定限界を与える $K_1$ と持続振動の角周波数 $\omega_1$ の導出

制御対象を $G(s) = \dfrac{100}{s(s+1)(s+40)}$、補償器を $C(s) = K_1$ とします。

より、一巡伝達関数 $L(s)$ は次式となります。

$$L(s) = C(s)G(s) = \frac{100K_1}{s(s+1)(s+40)} = \frac{100K_1}{s(s^2+41s+40)} = \frac{100K_1}{s^3+41s^2+40s}$$

閉ループ系の特性方程式 $1 + L(s) = 0$ は、両辺に分母を掛けて整理すると、

$$s^3 + 41s^2 + 40s + 100K_1 = 0$$

これにラウスの安定判別法を適用します。ラウスの数列表を作成すると以下のようになります。

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 40 \\ s^2 & 41 & 100K_1 \\ s^1 & \displaystyle \frac{41 \times 40 - 1 \times 100K_1}{41} & 0 \\ s^0 & 100K_1 & \end{array}$$

系が安定であるための条件は、第1列の要素がすべて同符号（正）であることです。

$$\frac{1640 - 100K_1}{41} > 0 \quad \text{かつ} \quad 100K_1 > 0$$

これより、安定なゲインの範囲は $0 < K_1 < 16.4$ となります。

ゲインを正の側へ増加させたとき、系が安定から不安定へと切り替わる安定限界は、$s^1$ 行の第1要素が $0$ になるときです。

$$1640 - 100K_1 = 0 \implies K_1 = \frac{1640}{100} = 16.4$$

このときの持続振動の角周波数 $\omega_1$ は、$s^2$ 行から作られる補助方程式（偶数次多項式）から直接求めることができます。

$$41s^2 + 100K_1 = 0$$

$K_1 = 16.4$（すなわち $100K_1 = 1640$）を代入すると、

$$41s^2 + 1640 = 0 \implies s^2 + 40 = 0 \implies s = \pm j\sqrt{40} = \pm j2\sqrt{10}$$

持続振動の根 $s = j\omega_1$ より、振動角周波数は次のように求められます。

$$\omega_1 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\ \mathrm{[rad/s]}$$

答案に書く最終解答は次のとおりです。

$$K_1 = 16.4\quad \left( \text{または } \frac{82}{5} \right) ,\quad \omega_1 = 2\sqrt{10}\ \mathrm{[rad/s]}\quad (\text{または } \sqrt{40}\ \mathrm{[rad/s]})$$

(2) 正弦波目標値に対する十分時間経過後の偏差 $e(t)$ の振幅

本問で問われているのは出力 $y(t)$ ではなく、偏差 $e(t)$ の定常振幅です。目標値 $R(s)$ から偏差 $E(s)$ への伝達関数（感度関数）$W_e(s)$ を導出します。

$$E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - C(s)G(s)E(s)$$ $$E(s)\{1 + C(s)G(s)\} = R(s) \implies W_e(s) = \frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1 + C(s)G(s)}$$

$C(s) = K_1 = 1$ のとき、式を代入して整理します。

$$W_e(s) = \frac{1}{1 + \dfrac{100}{s(s+1)(s+40)}} = \frac{s(s+1)(s+40)}{s(s+1)(s+40) + 100} = \frac{s^3 + 41s^2 + 40s}{s^3 + 41s^2 + 40s + 100}$$

目標値は振幅 $1$、角周波数 $\omega = 1\ \mathrm{[rad/s]}$ の正弦波信号であるため、定常状態での偏差の振幅 $A_e$ は周波数伝達関数の絶対値 $|W_e(j1)|$ に等しくなります。
$s = j\omega = j1 = j$ を代入します（$j^2 = -1, j^3 = -j$）。

$$\text{分子} = j^3 + 41j^2 + 40j = -j - 41 + 40j = -41 + 39j$$ $$\text{分母} = (-41 + 39j) + 100 = 59 + 39j$$

したがって、振幅比（偏差の振幅）は次のようになります。

$$A_e = |W_e(j1)| = \frac{|-41 + 39j|}{|59 + 39j|} = \sqrt{\frac{(-41)^2 + 39^2}{59^2 + 39^2}} = \sqrt{\frac{1681 + 1521}{3481 + 1521}} = \sqrt{\frac{3202}{5002}} = \sqrt{\frac{1601}{2501}}$$

数値を計算すると、

$$\sqrt{\frac{1601}{2501}} \approx \sqrt{0.64014} \approx 0.80009 \approx 0.800$$ $$0.800\quad \left( \text{または } \sqrt{\frac{1601}{2501}} \right)$$

(3) 補償器の名称

与えられた補償器の伝達関数は、

$$C(s) = K_2 \frac{s+1}{s+10} = \frac{K_2}{10} \frac{1+s}{1+\frac{s}{10}}$$

この伝達関数は、分子の零点が $s = -1$（角周波数 $\omega = 1\ \mathrm{[rad/s]}$）、分母の極が $s = -10$（角周波数 $\omega = 10\ \mathrm{[rad/s]}$）にあります。零点の方が極よりも低周波側に位置しているため、角周波数 $1 < \omega < 10\ \mathrm{[rad/s]}$ の領域で正の位相差（位相角がプラス）を生じさせます。

周波数伝達関数 $C(j\omega)$ の位相角 $\phi(\omega)$ を確認すると、

$$\phi(\omega) = \arg(1 + j\omega) - \arg(1 + j0.1\omega) = \tan^{-1}\omega - \tan^{-1}(0.1\omega)$$

$\omega > 0$ において常に $\omega > 0.1\omega$ であるため、$\phi(\omega) > 0$ となり位相が進みます。したがって、この補償器は位相進み補償器（または位相進み要素、位相進み回路）と呼ばれます。

位相進み補償器

(4) 補償器のゲイン特性の折れ線近似の作図

$K_2 = 10$ を代入すると、補償器の伝達関数は次のようになります。

$$C(s) = 10 \cdot \frac{s+1}{s+10} = \frac{1+s}{1+\frac{s}{10}}$$

折れ点角周波数は、分子より $\omega = 1\ \mathrm{[rad/s]}$、分母より $\omega = 10\ \mathrm{[rad/s]}$ です。各周波数帯におけるゲイン $g(\omega) = 20\log_{10}|C(j\omega)|$ の漸近線（折れ線近似）を求めます。

• $\omega \le 1\ \mathrm{[rad/s]}$ の範囲：
  $C(j\omega) \approx 1$ より、ゲインは $20\log_{10} 1 = 0\ \mathrm{[dB]}$（傾き $0\ \mathrm{[dB/dec]}$ の水平線）。
• $1 \le \omega \le 10\ \mathrm{[rad/s]}$ の範囲：
  分子の項 $(1+j\omega)$ の影響で、傾き $+20\ \mathrm{[dB/dec]}$ でゲインが上昇します。$\omega = 10\ \mathrm{[rad/s]}$ におけるゲインは $20\log_{10} 10 = 20\ \mathrm{[dB]}$ に達します。
• $\omega \ge 10\ \mathrm{[rad/s]}$ の範囲：
  分母の項 $(1+j0.1\omega)$ による $-20\ \mathrm{[dB/dec]}$ の傾き変化が加わり、全体の傾きは $+20 - 20 = 0\ \mathrm{[dB/dec]}$ となります。ゲインは $20\ \mathrm{[dB]}$ で一定となります。

答案用紙（

）には以下のような折れ線を描きます。

$\omega \le 1\ \mathrm{[rad/s]}$ で $0\ \mathrm{[dB]}$ の水平線、$1 \le \omega \le 10\ \mathrm{[rad/s]}$ で傾き $+20\ \mathrm{[dB/dec]}$ の直線（$0\ \mathrm{[dB]}$ から $20\ \mathrm{[dB]}$ まで上昇）、$\omega \ge 10\ \mathrm{[rad/s]}$ で $20\ \mathrm{[dB]}$ の水平線となる折れ線

(5) 改善できるフィードバック制御系の代表的な性能

位相進み補償器を挿入すると、ゲイン交差周波数付近において系の位相を進めることができるため、位相余裕が増大して系の安定度（相対安定度・減衰特性）が向上します。

また、安定度を維持したまま開ループゲインを大きく設定できるため、ゲイン交差周波数をより高周波域へとシフトさせることが可能となり、制御系の帯域幅が広がって速応性（応答速度）を大幅に改善することができます。

安定度（位相余裕の増大、減衰特性）および速応性（過渡応答の応答速度）の改善