(1) 伝達関数 $G(s)$ および減衰定数 $\zeta$ の導出

問題図

より、目標値 $R(s)$ から出力 $Y(s)$ までの関係式を立てます。前向き要素を $P(s) = \dfrac{6}{s(s+5)}$ とおくと、

$$Y(s) = P(s) E(s) = P(s) \{ R(s) - Y(s) \}$$ $$\{1 + P(s)\} Y(s) = P(s) R(s)$$

したがって、閉ループ伝達関数 $G(s) = \dfrac{Y(s)}{R(s)}$ は次のように求められます。

$$G(s) = \frac{P(s)}{1 + P(s)} = \frac{\dfrac{6}{s(s+5)}}{1 + \dfrac{6}{s(s+5)}} = \frac{6}{s(s+5) + 6} = \frac{6}{s^2 + 5s + 6}$$

2次遅れ系の標準形は次式で与えられます。

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

分母の係数を比較すると、

$$\omega_n^2 = 6 \implies \omega_n = \sqrt{6} \ \mathrm{[rad/s]}$$ $$2\zeta\omega_n = 5 \implies \zeta = \frac{5}{2\omega_n} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$$

有理化すると $\dfrac{5\sqrt{6}}{12}$ となりますが、問題文の指示により平方根を含む形のままで構いません。

$G(s) = \dfrac{6}{s^2 + 5s + 6}, \quad \zeta = \dfrac{5}{2\sqrt{6}}$

(2) 単位ステップ応答 $y(t)$ の導出

単位ステップ関数のラプラス変換は $R(s) = \dfrac{1}{s}$ であるため、出力 $Y(s)$ は次式となります。

$$Y(s) = G(s) R(s) = \frac{6}{s(s^2 + 5s + 6)} = \frac{6}{s(s+2)(s+3)}$$

これを部分分数分解します。

$$Y(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s+3}$$

各未定係数はヘビサイドの展開定理（留数計算）により求められます。

• $A = \lim_{s \to 0} s Y(s) = \dfrac{6}{(0+2)(0+3)} = 1$
• $B = \lim_{s \to -2} (s+2) Y(s) = \dfrac{6}{(-2)(-2+3)} = -3$
• $C = \lim_{s \to -3} (s+3) Y(s) = \dfrac{6}{(-3)(-3+2)} = 2$

よって、部分分数展開形は以下のようになります。

$$Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{3}{s+2} + \frac{2}{s+3}$$

両辺を逆ラプラス変換すると、$t \ge 0$ における時間応答 $y(t)$ が求まります。

$$y(t) = 1 - 3\mathrm{e}^{-2t} + 2\mathrm{e}^{-3t}$$

【検算】 初期値 $y(0) = 1 - 3 + 2 = 0$、最終値 $\lim_{t \to \infty} y(t) = 1$ となり、静止状態から目標値 $1$ へ滑らかに追従していることが確認できます。

$y(t) = 1 - 3\mathrm{e}^{-2t} + 2\mathrm{e}^{-3t}$

(3) 伝達関数 $H(s)$ と周波数特性による偏差振幅の変化

偏差 $E(s) = R(s) - Y(s)$ であるため、

$$E(s) = R(s) - G(s)R(s) = \{1 - G(s)\} R(s)$$ $$H(s) = \frac{E(s)}{R(s)} = 1 - G(s) = 1 - \frac{6}{s^2 + 5s + 6} = \frac{s^2 + 5s}{s^2 + 5s + 6}$$

周波数特性を調べるため、$s = j\omega$ を代入して周波数伝達関数 $H(j\omega)$ を求めます。

$$H(j\omega) = \frac{-\omega^2 + j5\omega}{(6 - \omega^2) + j5\omega}$$

振幅（ゲイン）の絶対値 $|H(j\omega)|$ は次のように計算されます。

$$|H(j\omega)| = \frac{\sqrt{(-\omega^2)^2 + (5\omega)^2}}{\sqrt{(6 - \omega^2)^2 + (5\omega)^2}} = \frac{\sqrt{\omega^4 + 25\omega^2}}{\sqrt{\omega^4 - 12\omega^2 + 36 + 25\omega^2}} = \sqrt{\frac{\omega^4 + 25\omega^2}{\omega^4 + 13\omega^2 + 36}}$$

正弦波目標値 $r(t) = \sin\omega t$（振幅 $1$）が入力されたとき、定常状態における偏差 $e(t)$ の振幅はゲイン $|H(j\omega)|$ に等しくなります。
角周波数 $\omega$ が非常に高くなる場合（$\omega \to \infty$）の極限を求めると、

$$\lim_{\omega \to \infty} |H(j\omega)| = \lim_{\omega \to \infty} \sqrt{\frac{1 + \dfrac{25}{\omega^2}}{1 + \dfrac{13}{\omega^2} + \dfrac{36}{\omega^4}}} = 1$$

【物理的理由】
前向き要素 $P(j\omega) = \dfrac{6}{j\omega(j\omega+5)}$ は積分器と一次遅れ要素を持つため、周波数 $\omega$ が高くなるにつれてゲイン $|P(j\omega)| \to 0$ となり、出力 $y(t)$ が目標値の急峻な変化に追従できず $0$ に近づきます。その結果、偏差 $e(t) = r(t) - y(t) \approx r(t)$ となり、偏差の振幅は目標値の振幅である $1$ に収束していきます。

$H(s) = \dfrac{s^2 + 5s}{s^2 + 5s + 6}$（または $\dfrac{s(s+5)}{(s+2)(s+3)}$）
【変化と理由】角周波数 $\omega$ が高くなるにつれて、制御対象のゲイン低下により出力が目標値に追従できなくなる（$y(t) \to 0$）ため、偏差 $e(t)$ の振幅は増大し、$1$ に近づく（収束する）。

(4) $\omega = 1\ \mathrm{[rad/s]}$ のときの偏差 $e(t)$ の振幅

(3)で導出した振幅の式に $\omega = 1$ を代入します。

$$|H(j1)| = \sqrt{\frac{1^4 + 25\times 1^2}{1^4 + 13\times 1^2 + 36}} = \sqrt{\frac{26}{50}} = \sqrt{\frac{13}{25}} = \frac{\sqrt{13}}{5}$$

目標値 $r(t) = \sin(1\cdot t)$ の振幅は $1$ であるため、偏差 $e(t)$ の振幅は $|H(j1)|$ そのものとなります。

$\dfrac{\sqrt{13}}{5}$