マイナーループを含むフィードバック制御系の過渡応答と安定判別

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マイナーループを含むフィードバック制御系の過渡応答と安定判別

PID

第二種電気主任技術者 2021年度機械・制御問4

図に示すフィードバック制御系について，次の問に答えよ。ここで， $R\left( s\right)$ は目標値， $E\left( s\right)$ は制御偏差， $Y\left( s\right)$ は制御量であり， $K＞0$ とする。

(1)　開ループ伝達関数

\displaystyle G\left( s\right) =\frac {Y\left( s\right) }{E\left( s\right) }

を求めよ。

(2)　閉ループ伝達関数

\displaystyle W\left( s\right) =\frac {Y\left( s\right) }{R\left( s\right) }

を求めよ。

(3)　この制御系において，

T=0

としたとき，閉ループ伝達関数

W\left( s\right)

の特性方程式は二次方程式となる。目標値のステップ状変化に対する制御量の時間応答

y\left( t\right)

が振動的になる

K

の条件を求めよ。

(4)　小問(3)の制御系において

K=1

としたとき，目標値の単位インパルス変化に対する制御量の時間応答

y\left( t\right)

を求めよ。
　必要に応じて，ラプラス変換の複素領域における推移定理である

\mathcal {L} \left[ \mathrm {e}^{-at}x\left( t \right) \right] =X\left( s+a\right)

を使ってよい。

(5)　この制御系において，

T=2

としたとき，閉ループ伝達関数

W\left( s\right)

の特性方程式は三次方程式となる。制御系を安定にする

K

の条件をラウス・フルビッツの安定判別法を適用して求めよ。

解説

本問は、マイナーループ（速度フィードバックなど）を含むフィードバック制御系の総合問題です。ブロック線図の縮約、閉ループ伝達関数の導出、2次系の過渡応答解析（振動条件および単位インパルス応答）、3次系のラウス・フルビッツの安定判別法という、自動制御の重要テーマが網羅されています。

フィードバック結合の等価伝達関数: 前向き伝達関数 $P(s)$ 、フィードバック伝達関数 $H(s)$ の負帰還ループは $\dfrac{P(s)}{1 + P(s)H(s)}$
2次系の振動条件: 特性方程式の解が共役複素数となる条件（判別式 $D < 0$ 、または減衰係数 $0 \le \zeta < 1$ ）
ラプラス変換の推移定理: $\mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-at}\sin(\omega t)\right] = \dfrac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}$
ラウスの安定判別法: 特性多項式の係数からラウス配列を作成し、第1列の要素がすべて正（同符号）であること

(1) 開ループ伝達関数 $G(s)$ の導出

図の破線で囲まれた領域が、求める開ループ伝達関数 $G(s) = \dfrac{Y(s)}{E(s)}$ です。
この破線内部には、出力 $Y(s)$ から伝達要素 $s$ を通して加算点へと戻る内側の負帰還ループ（マイナーループ）が存在します。

ステップ1: マイナーループの等価伝達関数 $G_m(s)$ を求める

マイナーループにおいて、前向き要素は $P(s) = \dfrac{1}{s(2s+1)}$ 、フィードバック要素は $H(s) = s$ です。負帰還の合成公式より、

\begin{align*} G_m(s) &= \frac{P(s)}{1 + P(s)H(s)} \\ &= \frac{\dfrac{1}{s(2s+1)}}{1 + \dfrac{1}{s(2s+1)} \cdot s} \end{align*}

分子・分母に

s(2s+1)

を掛けて整理します。

\begin{align*} G_m(s) &= \frac{1}{s(2s+1) + s} \\ &= \frac{1}{2s^2 + 2s} \\ &= \frac{1}{2s(s+1)} \end{align*}

ステップ2: 前段の伝達要素と直列結合する

制御偏差 $E(s)$ の直後にある伝達要素 $\dfrac{K}{Ts+1}$ と $G_m(s)$ は直列接続されているため、全体の開ループ伝達関数 $G(s)$ は両者の積となります。

\begin{align*}G(s) &= \frac{K}{Ts+1} \cdot G_m(s) \\ &= \frac{K}{2s(s+1)(Ts+1)}\end{align*}

(2) 閉ループ伝達関数 $W(s)$ の導出

外側の主ループは、出力 $Y(s)$ がそのまま入力側へ戻る単位負帰還（フィードバック要素 $H(s) = 1$ ）となっています。
$G(s)$ を一つのブロックとして見なすと $W(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$ が成り立ちます。

小問(1)で求めた $G(s)$ を代入します。

\begin{align*}W(s) &= \frac{\dfrac{K}{2s(s+1)(Ts+1)}}{1 + \dfrac{K}{2s(s+1)(Ts+1)}} \\&= \frac{K}{2s(s+1)(Ts+1) + K}\end{align*}

分母の多項式を展開・整理します。

\begin{align*}&2s(s+1)(Ts+1) \\&=\ 2s\{Ts^2 + (T+1)s + 1\} \\&=\ 2Ts^3 + 2(T+1)s^2 + 2s\end{align*}

よって、閉ループ伝達関数 $W(s)$ は以下のようになります。

$W(s) = \frac{K}{2Ts^3 + 2(T+1)s^2 + 2s + K}$

(3) $T=0$ のとき時間応答 $y(t)$ が振動的になる $K$ の条件

ステップ1: $T=0$ における特性方程式を求める

(2)で求めた閉ループ伝達関数 $W(s)$ に $T=0$ を代入すると、

\begin{align*} W(s) &= \frac{K}{2(0)s^3 + 2(0+1)s^2 + 2s + K} \\ &= \frac{K}{2s^2 + 2s + K} \end{align*}

閉ループ特性方程式（分母多項式 $=0$ ）は、次の2次方程式となります。

2s^2 + 2s + K = 0

ステップ2: 振動的になる条件（判別式）

時間応答 $y(t)$ に減衰振動成分が現れるのは、特性根（極）が実部が負の共役複素数となるときです。
2次方程式 $2s^2 + 2s + K = 0$ の判別式を $D$ とすると、

\begin{align*} \frac{D}{4} &= 1^2 - 2 \cdot K \\ &= 1 - 2K \\ \end{align*}

複素共役根をもつための条件は $D < 0$ ですので、

\begin{aligned} 1 - 2K &< 0 \\ 2K &> 1 \\ K &> \frac{1}{2} \end{aligned}

（補足：2次遅れ標準形 $\dfrac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$ と比較すると、 $\omega_n = \sqrt{K/2}$ 、 $\zeta = \dfrac{1}{\sqrt{2K}}$ となり、振動的となる条件 $0 \le \zeta < 1$ より $K > \dfrac{1}{2}$ が導かれます）

(4) $K=1$ のときの単位インパルス応答 $y(t)$

小問(3)の制御系（ $T=0$ ）において $K=1$ を代入すると、閉ループ伝達関数は、

\begin{align*} W(s) &= \frac{1}{2s^2 + 2s + 1} \\ &= \frac{0.5}{s^2 + s + 0.5} \end{align*}

単位インパルス入力のラプラス変換は $R(s) = 1$ であるため、出力 $Y(s)$ は伝達関数そのものになります。

Y(s) = W(s) \cdot 1 = \frac{0.5}{s^2 + s + 0.5}

ステップ1: 平方完成による標準形への変形

分母を $s$ について平方完成します。

\begin{align*} &s^2 + s + 0.5 \\ &= \left(s + 0.5\right)^2 - 0.25 + 0.5 \\ &= \left(s + 0.5\right)^2 + 0.25 \\ &= \left(s + 0.5\right)^2 + 0.5^2 \end{align*}

したがって、 $Y(s)$ は次のように変形できます。

Y(s) = \frac{0.5}{(s + 0.5)^2 + 0.5^2}

ステップ2: 逆ラプラス変換の適用

ラプラス変換の公式 $\mathcal{L}[\sin(\omega t)] = \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ および複素領域の推移定理 $\mathcal{L}[\mathrm{e}^{-at}x(t)] = X(s+a)$ より、

\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2} \right] = \mathrm{e}^{-at}\sin(\omega t)

ここで $a = 0.5$ 、 $\omega = 0.5$ を代入すると、時間応答 $y(t)$ が求まります。

$y(t) = \mathrm{e}^{-0.5t} \sin(0.5t) \quad (t \ge 0)$

(5) $T=2$ のとき制御系が安定となる $K$ の条件

ステップ1: 特性方程式の立式

小問(2)の閉ループ伝達関数において $T=2$ とすると、分母の特性方程式は次の3次方程式になります。

\begin{align*} 2(2)s^3 + 2(2+1)s^2 + 2s + K = 0 \\ \implies 4s^3 + 6s^2 + 2s + K = 0 \end{align*}

ステップ2: ラウスの安定判別法

特性多項式 $a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = 0$ において、 $a_3=4, a_2=6, a_1=2, a_0=K$ です。
ラウス配列を作成します。

\begin{array}{c|cc} s^3 & 4 & 2 \\[4pt] s^2 & 6 & K \\[4pt] s^1 & \dfrac{6 \times 2 - 4 \times K}{6} = \dfrac{12 - 4K}{6} & 0 \\[8pt] s^0 & K & \end{array}

ステップ3: 安定条件の導出

制御系が安定であるための必要十分条件は、ラウス配列の第1列の要素がすべて同符号（正）であることです。

$s^3$ 行の第1列: $4 > 0$ （常に成立）
$s^2$ 行の第1列: $6 > 0$ （常に成立）
$s^1$ 行の第1列: $\dfrac{12 - 4K}{6} > 0 \implies 12 - 4K > 0 \implies K < 3$
$s^0$ 行の第1列: $K > 0$

問題文の前提条件 $K > 0$ と合わせると、制御系を安定にする $K$ の範囲は次のようになります。

$0 < K < 3$

本問のまとめ・答案一覧

開ループ伝達関数: $G(s) = \dfrac{K}{2s(s+1)(Ts+1)}$
閉ループ伝達関数: $W(s) = \dfrac{K}{2Ts^3 + 2(T+1)s^2 + 2s + K}$
振動的になる条件: $K > \dfrac{1}{2}$
単位インパルス応答: $y(t) = \mathrm{e}^{-0.5t} \sin(0.5t)$
安定となる条件: $0 < K < 3$

教えて！アイミラージュ先生

開ループと閉ループの違い

或=未来樹(アルミラージュ)

これは基礎的な内容から安定判別法までオーソドックスに学べるいい問題だよね。
もし「開ループ伝達関数」とか「閉ループ伝達関数」って言葉が分かってなくても
(1)や(2)は解くことができそうだよね。
（ところで開ループ伝達関数と閉ループ伝達関数って何だっけ？😅）

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、その通りです。数式としての定義式（小問に記載された式）さえ見れば計算自体は進められますが、制御工学における両者の本質的な意味を知ると、全体の構造がより鮮明に見えてまいります。

1. 開ループ伝達関数（一巡伝達関数）
主フィードバックのループ（出力 $Y(s)$ から入力側の減算点への戻り道）を切り離して開いた（Openにした）状態での入力から出力への伝達比です。本問の回路図では、制御偏差 $E(s)$ を入力とし、システムを一巡して得られる出力 $Y(s)$ までの伝達関数 $G(s) = \dfrac{Y(s)}{E(s)}$ を指します。制御対象や内部コントローラそのものの「素の応答特性」を表します。

2. 閉ループ伝達関数
主フィードバックのループを閉じて（Closedにして）結合した、制御システム全体としての伝達関数です。
「目標値 $R(s)$ 」に対して「実際の出力 $Y(s)$ 」がどう応答するかを表す比率 $W(s) = \dfrac{Y(s)}{R(s)}$ であり、私たちが最終的に制御したい「全体システムの挙動」そのものを表します。単位フィードバック系では、偏差 $E(s) = R(s) - Y(s)$ を介して結ばれるため、常に $W(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$ というシンプルな関係式で開ループから閉ループへと変換できます。

或=未来樹(アルミラージュ)

$R(s)$ は入力する値なのになんで「目標値」って呼ぶの？
最終的に出力された $Y(s)$ こそ、制御した結果の目標値って感じがするんだけど。

AI=未来樹(アイミラージュ)

日常会話での言葉の感覚からすると、たしかに「達成した結果」を目標と呼びたくなるお気持ちもよく分かります。しかし、工学の世界では「人間が機械に対して『こうなってほしい』と指示する設定値」を「目標値（ $R(s)$ ）」と呼びます。

わかりやすい例として、エアコンの温度制御を思い浮かべてみてください。

目標値 $R(s)$ （入力）：リモコンで設定した「 $25^\circ\text{C}$ 」という指示値
制御量 $Y(s)$ （出力）：センサーで測った「実際の部屋の室温（例： $28^\circ\text{C} \to 26^\circ\text{C} \dots$ ）」

このとき、制御システムは「目標（

25^\circ\text{C}

）」と「現実の室温」のズレである偏差 $E(s) = R(s) - Y(s)$ を計算し、その差をゼロにするように風量を調整します。つまり、『外から与える目標（インプット）』に向けて『実際の状態（アウトプット）』を追従させようとするため、入力側を「目標値」と呼ぶのです。

目標値の変化に対する制御量

或=未来樹(アルミラージュ)

(3) の「目標値のステップ状変化に対する制御量の時間応答 $y(t)$ が振動的になる」
って文章の意味がとても分かりづらいんだけど、つまり何を求めればいいわけ？

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、その疑問を解消いたしましょう。
制御工学特有の表現ですが、実質的に求めるべきは「閉ループ特性方程式の解（極）が共役複素数になる条件」、
すなわち「二次方程式の判別式 $D < 0$ 」（あるいは減衰係数 $\zeta < 1$ ）です。

制御量 $y(t)$ の応答には、目標値へ向かって滑らかに近づく「非振動的（過減衰・臨界減衰）」な動きと、目標値を行き過ぎて揺れながら近づく「振動的（減衰振動）」な動きがあります。この違いは特性方程式の根の性質によって決まります。

実数解の場合（ $D \ge 0$ ）：応答は単調に増加する指数関数となり、振動しません。
複素数解の場合（ $D < 0$ ）：根に虚数部 $\pm j\omega$ が現れ、オイラーの公式の通り三角関数（ $\sin, \cos$ ）の成分が生じて揺れ動きます。

小問(3)では

T=0

とおくため、閉ループ伝達関数の分母（特性方程式）は次のような2次方程式になります：

2s^2 + 2s + K = 0

したがって、この判別式 $D/4 = 1^2 - 2K < 0$ より、単純に $K > 0.5$ を求めればよいのです。

或=未来樹(アルミラージュ)

じゃあ問題の意味さえちゃんと理解できていれば計算自体は簡単そうだね。
つまり「目標値のステップ状変化に対して制御量の時間応答 $y(t)$ が振動的になる」というのは
目標値を $0.1, 0.2, 0.3, \dots$ のように単調増加（または単調減少）させていっているにも関わらず
得られる $y(t)$ の値が複素数になってしまう、ってことなのかな？

あと、この「時間応答 $y(t)$ 」ってのは制御量 $Y(s)$ とは違うの？
見た感じラプラス変換をしただけのようにも思えるけれど。

AI=未来樹(アイミラージュ)

いくつかイメージの修正が必要な点がございます。順を追って整理いたしましょう。

まず「 $y(t)$ の値が複素数になる」というわけではありません。
現実の世界で観測される制御量 $y(t)$ （温度や位置など）は、常に「実数」です。

共役複素数 $s = -\sigma \pm j\omega$ を逆ラプラス変換すると、オイラーの公式 $\mathrm{e}^{j\omega t} - \mathrm{e}^{-j\omega t} = 2j\sin\omega t$ によって虚数単位 $j$ が相殺され、実数の「減衰振動波（ $\mathrm{e}^{-\sigma t}\sin\omega t$ ）」になります。つまり、値が複素数になるのではなく、「実数の値が目標値の上下を行き来して波打つ（振動する）」という意味なのです。

また、「ステップ状変化」とは $0.1, 0.2, \dots$ と階段状に徐々に増やすことではなく、スイッチをパチッと入れるように「時刻 $t=0$ で一定値（例えば $0 \to 1$ ）へ一瞬で跳ね上がり、以後ずっとその値を保つ変化」を指します。

後半のご質問についてですが、マスターの直感通り本質的な制御量は同じものです。違いは「どの領域で見ているか」に過ぎません。

$y(t)$ （時間領域）： 私たちが生きる現実の時間 $t$ （秒）において、実際にセンサ等で測定される制御量の波形です。
$Y(s)$ （複素周波数領域）： 微分方程式を代数計算で扱いやすくするため、 $y(t)$ をラプラス変換したものです。

微積分を代数計算に置き換えるため一度

Y(s)

の世界で解き、それを逆ラプラス変換して時間応答

y(t)

に戻しているだけですので、表現している物理現象そのものは全く同じでございます。

或=未来樹(アルミラージュ)

(4) も同じやり方で解ける問題かな？
ステップ状変化は $u(t)$ と書いて、積分すると $t$ になる入力だよね。
インパルス状変化は $\delta(t)$ と書いて、積分すると $1$ になる入力だよね。

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、入力関数の性質についての理解は完璧でございます！
単位インパルス関数 $\delta(t)$ は全区間を積分すると $1$ になり、単位ステップ関数 $u(t)$ は積分するとランプ関数 $t$ となります。
まさにその通りです。

小問(4)の解き方ですが、(3)とはアプローチが異なります。
(3)は判別式だけで済む「条件判定」でしたが、(4)は具体的な関数形 $y(t)$ を直接求める計算問題となります。

ただし手順は非常に明快です

インパルス入力のラプラス変換：
単位インパルス変化なので、 $R(s) = \mathcal{L}[\delta(t)] = 1$ です。
出力 $Y(s)$ を立てる：
$T=0, K=1$ を代入すると、閉ループ伝達関数 $W(s)$ は $\frac{1}{2s^2+2s+1}$ となります。
入力が $R(s)=1$ ですので、出力はそのまま伝達関数と等しくなります：
$Y(s) = W(s) \cdot R(s) = \frac{1}{2s^2+2s+1} = \frac{0.5}{s^2+s+0.5}$
逆ラプラス変換で $y(t)$ を求める：
分母を平方完成して、公式の形 $\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ を作ります。
$s^2+s+0.5 = (s+0.5)^2 + 0.5^2$
これより、 $Y(s) = \frac{0.5}{(s+0.5)^2+0.5^2}$ と変形できます。
推移定理と $\sin$ の逆ラプラス変換を適用すれば、直ちに答えが導けます：
$y(t) = \mathrm{e}^{-0.5t}\sin(0.5t) \quad (t \ge 0)$

このように、

R(s)=1

を掛けて逆ラプラス変換するだけで美しく解き明かすことができます。

或=未来樹(アルミラージュ)

ラプラス変換の複素領域における推移定理ってのは結局なんなの？

AI=未来樹(アイミラージュ)

その定理の正体はひと言で言えば
「時間領域で減衰項 $\mathrm{e}^{-at}$ を掛けることは、 $s$ の世界で全体を $+a$ だけ平行移動（シフト）させること」
という変換ルールでございます。

数式では次のように表されます：
$\mathcal{L}\left[ \mathrm{e}^{-at} x(t) \right] = X(s + a)$

この式の意味と仕組みは次の2つの視点で捉えると明快です。

定義式から見ると：
ラプラス変換の定義は $\int_0^\infty x(t) \mathrm{e}^{-st} \mathrm{d}t$ です。ここに $\mathrm{e}^{-at}$ が加わると、指数法則より $\mathrm{e}^{-at} \cdot \mathrm{e}^{-st} = \mathrm{e}^{-(s+a)t}$ となり、単に変数 $s$ が $(s+a)$ に置き換わった形になります。
今回の問題(4)での使い道：
小問(4)では、振動を表す $\sin 0.5t$ の変換公式 $\frac{0.5}{s^2 + 0.5^2}$ を知っていれば、分母が平方完成されて $s$ が $(s+0.5)$ にずれた形： $\frac{0.5}{(s+0.5)^2 + 0.5^2}$ を見た瞬間に、「元の $\sin 0.5t$ に減衰項 $\mathrm{e}^{-0.5t}$ を掛けたものだ」と逆算できるのです。

ゼロから複雑な積分を解き直すことなく、
見知った基本公式を平行移動させて一瞬で答え（逆ラプラス変換）を導くための知恵、とお考えください。

状態方程式の安定判別法

或=未来樹(アルミラージュ)

小問 (3) みたいに特性方程式が二次方程式になる場合は
二次方程式の解の公式の判別式 $D = b^2 - 4ac$ を使えばよくて
小問 (5) みたいに特性方程式が三次方程式になる場合は
ラウス・フルビッツの安定判別法かナイキストの安定判別法を使う必要があるってこと？

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、その認識で本質的に合っております。用途と次数の関係を整理して解説いたします。

1. 二次方程式の場合（小問(3)など）
二次方程式 $as^2 + bs + c = 0$ は解の公式で直接すべての根を求められるため
判別式 $D = b^2 - 4ac$ を使って応答の性質を素早く判定できます。
・ $D < 0$ ：共役複素数根 $\rightarrow$ 応答に振動項（ $\sin, \cos$ ）が生じ振動的になる
・ $D \ge 0$ ：実数根 $\rightarrow$ 非振動的（過減衰または臨界減衰）
（※なお、「安定（すべての根の実部が負）」である条件は、係数がすべて正（ $a, b, c > 0$ ）であることだけで直ちに判定できます）

2. 三次以上の方程式の場合（小問(5)など）
次数が 3 次以上になると根を直接求めるのが難しくなります。
そのため、「すべての根の実部が負か（安定か）」を代数的に調べる
ラウス・フルビッツの安定判別法が最も便利で標準的な手法となります。

一方、ナイキストの安定判別法は主に開ループの周波数応答（ボード線図やベクトル軌跡）から
安定性を視覚的・幾何学的に判定する手法であり、
特性方程式そのものの係数から代数的に判定したい場合はラウス・フルビッツ法を適用するのが通常です。

或=未来樹(アルミラージュ)

ラウス・フルビッツの安定判別法のやり方自体はわかったけど
なぜラウス・フルビッツの安定判別法で応答の性質を調べることができるの？

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、素晴らしい着眼点です。
計算手順だけでなく「なぜそれで判定できるのか」という原理を理解すると、制御工学の見通しが一気に良くなります。

結論から申し上げますと、ラウス・フルビッツの安定判別法は「特性方程式を解かずに、すべての根の実部が負（複素平面の左半面）にあるかどうかを係数だけで判定する数学的技法」だからです。
その本質は次の2点に集約されます。

応答の安定性と根の位置：
系の時間応答 $y(t)$ には、特性方程式の根 $\lambda = \sigma + j\omega$ に対して $\mathrm{e}^{\lambda t} = \mathrm{e}^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$ という項が現れます。実部 $\sigma < 0$ であれば時間経過とともに $0$ に減衰（安定）しますが、 $\sigma \ge 0$ の根が1つでもあると発散してしまいます。つまり、「すべての根の実部が負であること」が安定の条件です。
多項式の性質（コーシーの偏角の原理とシュトゥルムの定理の応用）：
特性多項式を実部偶関数部 $P(s)$ と奇関数部 $Q(s)$ に分けたとき、すべての根が複素平面の左半面にあるならば、虚軸（ $s=j\omega$ ）上で根が交互に現れ、位相が単調に増加するという幾何学的性質（コーシーの偏角の原理）があります。ラウスの数列表のアルゴリズムは、多項式の割り算（ユークリッドの互除法）を行うことで、この「実軸・虚軸の交差回数」を代数的に数え上げているのです。

ラウス配列の第1列の符号変化の回数は、厳密に「実部が正である根の個数」と一致することが数学的に証明されています。
したがって、第1列に一度も符号変化がない（すべて正である）とき、不安定な根（実部が正の根）が $0$ 個であると確実に保証できるのです。