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単位法による受電電圧維持と必要調相設備サセプタンスの導出

変電
第二種電気主任技術者 2022年度 電力・管理 問3

送電線により受電する下図の負荷母線d \mathrm {d} の受電電圧Vd V_{\mathrm {d}} を1.05 p.u. 1.05 \ \mathrm {p.u.} に維持するために必要な調相設備(コンデンサあるいはリアクトル)のサセプタンスYd Y_{\mathrm {d}} を，単位法を用いて，以下の手順で求める。それぞれの問に答えよ。なお，遅れ無効電力を正とする。

(1)　負荷母線d \mathrm {d} に到達する有効電力P P に関する数式を用いて，sin⁡θd \sin \theta _{\mathrm {d}} の値を求めよ。

(2)　負荷母線d \mathrm {d} に到達する遅れ無効電力Q Q をcos⁡θd \cos \theta _{\mathrm {d}} の関数で表せ。

(3)　上記小問(2)の解を用いて必要調相設備サセプタンスYd Y_{\mathrm {d}} をcos⁡θd \cos \theta _{\mathrm {d}} の関数で表せ。

(4)　上記の各小問の解を用いて必要調相設備サセプタンスYd Y_{\mathrm {d}} を求めよ。ただし，∣θd∣＜π2 \displaystyle \left| \theta _{\mathrm {d}}\right| ＜\frac {\pi }{2} とする。

問題図

解説

本問は、単位法（ p.u. \,\mathrm{p.u.}\,法）における送電線路と負荷母線の関係を扱い、受電端電圧を一定値に維持するために必要な調相設備のサセプタンスを算出する計算問題です。

【解法の重要ポイント】

  • 系統合成リアクタンスの算出：j0.8j0.8 の送電線2回線並列に変圧器 j0.2j0.2 が直列に接続されているため、X=0.82+0.2=0.6 p.u.X = \frac{0.8}{2} + 0.2 = 0.6\ \mathrm{p.u.} となります。
  • 複素電力と受電端到達電力：遅れ無効電力を正とする定義では、複素電力は S˙=P+jQ=V˙dI˙‾\dot{S} = P + jQ = \dot{V}_{\mathrm{d}} \overline{\dot{I}} で表されます（I˙‾\overline{\dot{I}} は電流の複素共役）。
  • 母線における無効電力の需給バランス：送電線から母線 d\mathrm{d} に到達する無効電力 QQ は、「負荷の消費無効電力」と「調相設備が消費する無効電力」の和に等しくなります。

ステップ1：系統全体の合成リアクタンスと電流の表現

送電線はインピーダンス j0.8 p.u.j0.8\ \mathrm{p.u.} の線路が2回線並列に接続されているため、その合成インピーダンスは、

j0.8×j0.8j0.8+j0.8=j0.4 p.u.\frac{j0.8 \times j0.8}{j0.8 + j0.8} = j0.4\ \mathrm{p.u.}

これに変圧器のインピーダンス j0.2 p.u.j0.2\ \mathrm{p.u.} が直列に加わるため、無限大母線から負荷母線 d\mathrm{d} までの合成リアクタンス XX は、

X=0.4+0.2=0.6 p.u.X = 0.4 + 0.2 = 0.6\ \mathrm{p.u.}

無限大母線電圧を V˙0=1.10∠0\dot{V}_0 = 1.10\angle 0、負荷母線電圧を V˙d=1.05∠θd=1.05ejθd\dot{V}_{\mathrm{d}} = 1.05\angle\theta_{\mathrm{d}} = 1.05\mathrm{e}^{j\theta_{\mathrm{d}}} とおくと、無限大母線から負荷母線へ流れる線路電流 I˙\dot{I} はオームの法則より、

I˙=V˙0−V˙djX=1.10−1.05ejθdj0.6 p.u.\dot{I} = \frac{\dot{V}_0 - \dot{V}_{\mathrm{d}}}{jX} = \frac{1.10 - 1.05\mathrm{e}^{j\theta_{\mathrm{d}}}}{j0.6}\ \mathrm{p.u.}

ステップ2：負荷母線に到達する複素電力 P+jQP + jQ の導出

遅れ無効電力を正とするとき、負荷母線 d\mathrm{d} に流入する電力 P+jQP + jQ は、電圧 V˙d\dot{V}_{\mathrm{d}} と電流の複素共役 I˙‾\overline{\dot{I}} の積で求められます。

P+jQ=V˙dI˙‾ =1.05ejθd⋅1.10−1.05e−jθd−j0.6 =j1.050.6(1.10ejθd−1.05) =j1.925ejθd−j1.8375 =j1.925(cos⁡θd+jsin⁡θd)−j1.8375 =−1.925sin⁡θd+j(1.925cos⁡θd−1.8375)⋯①\begin{aligned} P + jQ &= \dot{V}_{\mathrm{d}} \overline{\dot{I}} \ &= 1.05\mathrm{e}^{j\theta_{\mathrm{d}}} \cdot \frac{1.10 - 1.05\mathrm{e}^{-j\theta_{\mathrm{d}}}}{-j0.6} \ &= j\frac{1.05}{0.6} \left( 1.10\mathrm{e}^{j\theta_{\mathrm{d}}} - 1.05 \right) \ &= j1.925\mathrm{e}^{j\theta_{\mathrm{d}}} - j1.8375 \ &= j1.925\left( \cos\theta_{\mathrm{d}} + j\sin\theta_{\mathrm{d}} \right) - j1.8375 \ &= -1.925\sin\theta_{\mathrm{d}} + j\left( 1.925\cos\theta_{\mathrm{d}} - 1.8375 \right) \quad \cdots\text{①} \end{aligned}

小問(1)の解答：sin⁡θd\sin\theta_{\mathrm{d}} の値

調相設備は純サセプタンス（無効電力のみに関与）であり、線路も純リアクタンスであるため、母線 d\mathrm{d} に到達する有効電力 PP は負荷の有効電力 0.5 p.u.0.5\ \mathrm{p.u.} と等しくなります。

①式の実部より、

P=−1.925sin⁡θd=0.5P = -1.925\sin\theta_{\mathrm{d}} = 0.5 sin⁡θd=−0.51.925=−2077≈−0.25974\sin\theta_{\mathrm{d}} = -\frac{0.5}{1.925} = -\frac{20}{77} \approx -0.25974

よって、

sin⁡θd≈−0.260\sin\theta_{\mathrm{d}} \approx -0.260

※ 送電端（基準 00）から電力を受電するため、受電端位相は遅れ（θd<0\theta_{\mathrm{d}} < 0）となり、正弦は負値となります。

小問(2)の解答：遅れ無効電力 QQ を cos⁡θd\cos\theta_{\mathrm{d}} の関数で表す

①式の虚部が母線 d\mathrm{d} に到達する遅れ無効電力 QQ であるため、

Q=1.925cos⁡θd−1.8375 [p.u.]Q = 1.925\cos\theta_{\mathrm{d}} - 1.8375\ \mathrm{[p.u.]}

小問(3)の解答：必要調相設備サセプタンス YdY_{\mathrm{d}} を cos⁡θd\cos\theta_{\mathrm{d}} の関数で表す

調相設備のアドミタンスを jYdjY_{\mathrm{d}} とすると、設備に流入する電流は I˙C=jYdV˙d\dot{I}_{\mathrm{C}} = jY_{\mathrm{d}}\dot{V}_{\mathrm{d}} です。
調相設備が消費する遅れ無効電力 QCQ_{\mathrm{C}} は、

QC=Im[V˙dI˙‾C]=Im[V˙d(−jYdV˙‾d)]=−Yd∣V˙d∣2=−Yd×1.052=−1.1025YdQ_{\mathrm{C}} = \mathrm{Im}[\dot{V}_{\mathrm{d}}\overline{\dot{I}}_{\mathrm{C}}] = \mathrm{Im}[\dot{V}_{\mathrm{d}}(-jY_{\mathrm{d}}\overline{\dot{V}}_{\mathrm{d}})] = -Y_{\mathrm{d}}|\dot{V}_{\mathrm{d}}|^2 = -Y_{\mathrm{d}} \times 1.05^2 = -1.1025Y_{\mathrm{d}}

負荷母線 d\mathrm{d} に到達する遅れ無効電力 QQ は、負荷の遅れ無効電力（0.2 p.u.0.2\ \mathrm{p.u.}）と調相設備の消費遅れ無効電力の和となるので、

Q=0.2+QC=0.2−1.1025YdQ = 0.2 + Q_{\mathrm{C}} = 0.2 - 1.1025Y_{\mathrm{d}}

これを YdY_{\mathrm{d}} について整理し、小問(2)の QQ を代入します。

1.1025Yd=0.2−Q=0.2−(1.925cos⁡θd−1.8375)=2.0375−1.925cos⁡θd1.1025Y_{\mathrm{d}} = 0.2 - Q = 0.2 - (1.925\cos\theta_{\mathrm{d}} - 1.8375) = 2.0375 - 1.925\cos\theta_{\mathrm{d}}

したがって、

Yd=2.0375−1.925cos⁡θd1.1025 [p.u.](≈1.85−1.75cos⁡θd)Y_{\mathrm{d}} = \frac{2.0375 - 1.925\cos\theta_{\mathrm{d}}}{1.1025}\ \mathrm{[p.u.]} \quad (\approx 1.85 - 1.75\cos\theta_{\mathrm{d}})

小問(4)の解答：必要調相設備サセプタンス YdY_{\mathrm{d}} の値を求める

条件 ∣θd∣<π2|\theta_{\mathrm{d}}| < \frac{\pi}{2} より cos⁡θd>0\cos\theta_{\mathrm{d}} > 0 です。(1)より sin⁡θd=−2077\sin\theta_{\mathrm{d}} = -\frac{20}{77} なので、

cos⁡θd=1−sin⁡2θd=1−(−2077)2=55295929=552977≈0.96568\cos\theta_{\mathrm{d}} = \sqrt{1 - \sin^2\theta_{\mathrm{d}}} = \sqrt{1 - \left(-\frac{20}{77}\right)^2} = \sqrt{\frac{5529}{5929}} = \frac{\sqrt{5529}}{77} \approx 0.96568

これを小問(3)の式に代入します。

Yd=2.0375−1.925×0.965681.1025=2.0375−1.85891.1025=0.17861.1025≈0.162 p.u.Y_{\mathrm{d}} = \frac{2.0375 - 1.925 \times 0.96568}{1.1025} = \frac{2.0375 - 1.8589}{1.1025} = \frac{0.1786}{1.1025} \approx 0.162\ \mathrm{p.u.}

Yd>0Y_{\mathrm{d}} > 0 であるため、必要な設備は電力用コンデンサです。

Yd≈0.162 p.u.Y_{\mathrm{d}} \approx 0.162\ \mathrm{p.u.}（コンデンサ）

【解答のまとめ】

  • (1) sin⁡θd≈−0.260\sin\theta_{\mathrm{d}} \approx -0.260
  • (2) Q=1.925cos⁡θd−1.8375 [p.u.]Q = 1.925\cos\theta_{\mathrm{d}} - 1.8375\ \mathrm{[p.u.]}
  • (3) Yd=2.0375−1.925cos⁡θd1.1025 [p.u.]Y_{\mathrm{d}} = \dfrac{2.0375 - 1.925\cos\theta_{\mathrm{d}}}{1.1025}\ \mathrm{[p.u.]}
  • (4) Yd≈0.162 p.u.Y_{\mathrm{d}} \approx 0.162\ \mathrm{p.u.}