小問(1)の解説：直列結合された伝達関数の導出

図1

において、$G_1(s)$ の出力が直接 $G_2(s)$ の入力となっているため、全体の伝達関数 $\displaystyle W_1(s) = \frac{Y_1(s)}{U(s)}$ は各ブロックの積となります。

$$W_1(s) = G_1(s)G_2(s) = \frac{3}{s+2} \cdot \frac{5}{s^2+5s+6} = \frac{15}{(s+2)(s^2+5s+6)}$$

問題文の指定「分母及び分子は $s$ の多項式で示すこと」に従い、分母を展開します。

$$\begin{aligned} (s+2)(s^2+5s+6) &= s(s^2+5s+6) + 2(s^2+5s+6) \\[5pt] &= s^3 + 5s^2 + 6s + 2s^2 + 10s + 12 \\[5pt] &= s^3 + 7s^2 + 16s + 12 \end{aligned}$$

したがって、求める伝達関数は次のようになります。

$$\frac{Y_1(s)}{U(s)} = \frac{15}{s^3+7s^2+16s+12}$$

小問(2)の解説：単位ステップ応答の定常値

単位ステップ信号のラプラス変換は $U(s) = \displaystyle \frac{1}{s}$ であるため、出力量 $Y_1(s)$ は次式となります。

$$Y_1(s) = W_1(s) U(s) = \frac{15}{s^3+7s^2+16s+12} \cdot \frac{1}{s} = \frac{15}{(s+2)^2(s+3)s}$$

$sY_1(s)$ の極は $s = -2$（重極）および $s = -3$ であり、すべて実部が負（複素平面の左半面）に存在するため、系は安定であり最終値の定理が適用できます。

$$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty} y_1(t) &= \lim_{s \to 0} s Y_1(s) \\[5pt] &= \lim_{s \to 0} \left( s \cdot \frac{15}{s^3+7s^2+16s+12} \cdot \frac{1}{s} \right) \\[5pt] &= \lim_{s \to 0} \frac{15}{s^3+7s^2+16s+12} \\[5pt] &= \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25 \end{aligned}$$

$$1.25 \quad \left( \text{または } \frac{5}{4} \right)$$

小問(3)の解説：並列結合のインパルス応答

図2

より、並列結合された制御系の伝達関数 $W_2(s)$ は各要素の和になります。

$$W_2(s) = \frac{Y_2(s)}{U(s)} = G_1(s) + G_2(s) = \frac{3}{s+2} + \frac{5}{s^2+5s+6}$$

ここで分母を因数分解すると $s^2+5s+6 = (s+2)(s+3)$ です。通分して整理します。

$$W_2(s) = \frac{3(s+3)}{(s+2)(s+3)} + \frac{5}{(s+2)(s+3)} = \frac{3s+14}{(s+2)(s+3)}$$

入力が単位インパルス信号であるとき $U(s) = 1$ であるため、出力量は $Y_2(s) = W_2(s)$ と一致します。これを逆ラプラス変換するために部分分数分解します。

$$Y_2(s) = \frac{3s+14}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}$$

ヘビサイドの展開定理（留数法）を用いると、係数 $A, B$ は直ちに求まります。

$$\begin{aligned} A &= \left. (s+2) Y_2(s) \right|_{s=-2} = \left. \frac{3s+14}{s+3} \right|_{s=-2} = \frac{3(-2)+14}{-2+3} = 8 \\[5pt] B &= \left. (s+3) Y_2(s) \right|_{s=-3} = \left. \frac{3s+14}{s+2} \right|_{s=-3} = \frac{3(-3)+14}{-3+2} = -5 \end{aligned}$$

したがって、$Y_2(s) = \displaystyle \frac{8}{s+2} - \frac{5}{s+3}$ となります。逆ラプラス変換を行うと、時間応答 $y_2(t)$ は次のようになります。

$$y_2(t) = 8\mathrm{e}^{-2t} - 5\mathrm{e}^{-3t} \quad (t \ge 0)$$

小問(4)の解説：指数関数入力に対する時間応答

入力 $u(t) = 2\mathrm{e}^{-t}$ のラプラス変換は $U(s) = \displaystyle \frac{2}{s+1}$ です。小問(3)で求めた $W_2(s)$ に乗じることで、出力 $Y_2(s)$ を導きます。

$$Y_2(s) = W_2(s) U(s) = \frac{3s+14}{(s+2)(s+3)} \cdot \frac{2}{s+1} = \frac{6s+28}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$

これを部分分数に展開します。

$$Y_2(s) = \frac{C}{s+1} + \frac{D}{s+2} + \frac{E}{s+3}$$

ヘビサイドの展開定理を用いて各定数を求めます。

$$\begin{aligned} C &= \left. \frac{6s+28}{(s+2)(s+3)} \right|_{s=-1} = \frac{6(-1)+28}{(-1+2)(-1+3)} = \frac{22}{1 \cdot 2} = 11 \\[5pt] D &= \left. \frac{6s+28}{(s+1)(s+3)} \right|_{s=-2} = \frac{6(-2)+28}{(-2+1)(-2+3)} = \frac{16}{(-1) \cdot 1} = -16 \\[5pt] E &= \left. \frac{6s+28}{(s+1)(s+2)} \right|_{s=-3} = \frac{6(-3)+28}{(-3+1)(-3+2)} = \frac{10}{(-2) \cdot (-1)} = 5 \end{aligned}$$

よって、$Y_2(s)$ は以下のように分解されます。

$$Y_2(s) = \frac{11}{s+1} - \frac{16}{s+2} + \frac{5}{s+3}$$

これを逆ラプラス変換することにより、時間応答 $y_2(t)$ が求まります。

$$y_2(t) = 11\mathrm{e}^{-t} - 16\mathrm{e}^{-2t} + 5\mathrm{e}^{-3t} \quad (t \ge 0)$$

※検算: $t=0$ を代入すると $y_2(0) = 11 - 16 + 5 = 0$ となり、初期値定理 $\lim_{s\to\infty} sY_2(s) = 0$ と正しく一致します。

小問(5)の解説：高周波領域における周波数応答の位相

小問(3)で求めた並列結合伝達関数 $W_2(s) = \displaystyle \frac{3s+14}{(s+2)(s+3)}$ に $s = \mathrm{j}\omega$ を代入すると、周波数伝達関数 $W_2(\mathrm{j}\omega)$ が得られます。

$$W_2(\mathrm{j}\omega) = \frac{3\mathrm{j}\omega + 14}{(2+\mathrm{j}\omega)(3+\mathrm{j}\omega)}$$

複素数の偏角（位相）の性質 $\arg\left(\frac{A}{BC}\right) = \arg(A) - \arg(B) - \arg(C)$ より、位相 $\phi(\omega)$ は次のように表せます。

$$\phi(\omega) = \tan^{-1}\left(\frac{3\omega}{14}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{3}\right)$$

ここで、周波数を十分に大きくする（$\omega \to \infty$）と、各逆正接項はすべて $\tan^{-1}(\infty) = 90^\circ$（$\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}$）に収束します。

$$\lim_{\omega \to \infty} \phi(\omega) = 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = -90^\circ$$

（なお、高周波領域において分母・分子の最高次数の項に注目すると、 $$W_2(\mathrm{j}\omega) \approx \frac{3\mathrm{j}\omega}{(\mathrm{j}\omega)^2} = \frac{3}{\mathrm{j}\omega} = -\mathrm{j}\frac{3}{\omega}$$ となり、純虚数かつ係数が負（$-\mathrm{j}$）であることから、位相が $-90^\circ$ となることが視覚的にも容易に確認できます。）

$$-90^\circ \quad \left( \text{または } -\frac{\pi}{2} \ \mathrm{rad} \right)$$