小問(1)の解説：$1$線地絡電流 $\dot{I}_\mathrm{a}$ と零相電流 $\dot{I}_0$ の関係

送電線は無負荷であるため、地絡が発生していない健全相（$\mathrm{b}$相および$\mathrm{c}$相）に流れる電流は零となります。

$$\dot{I}_\mathrm{b} = 0\ \mathrm{[A]}, \quad \dot{I}_\mathrm{c} = 0\ \mathrm{[A]}$$

対称座標法において、零相電流 $\dot{I}_0$ は三相電流の平均値として定義されます。

$$\dot{I}_0 = \frac{1}{3}(\dot{I}_\mathrm{a} + \dot{I}_\mathrm{b} + \dot{I}_\mathrm{c})$$

これに健全相の条件を代入すると、

$$\dot{I}_0 = \frac{1}{3}(\dot{I}_\mathrm{a} + 0 + 0) = \frac{1}{3}\dot{I}_\mathrm{a}$$

したがって、$1$線地絡電流 $\dot{I}_\mathrm{a}$ は次のように表されます。

$$\dot{I}_\mathrm{a} = 3\dot{I}_0$$

小問(2)の解説：通信線に発生する電磁誘導電圧 $|\dot{V}_\mathrm{m}|$ の導出

並行する送電線と通信線との間の全相互インダクタンスは、単位長あたりの相互インダクタンス $M\ \mathrm{[H/km]}$ と並行距離 $D\ \mathrm{[km]}$ の積である $MD\ \mathrm{[H]}$ となります。

送電線の各相電流 $\dot{I}_\mathrm{a},\ \dot{I}_\mathrm{b},\ \dot{I}_\mathrm{c}$ によって通信線に誘起される電磁誘導電圧 $\dot{V}_\mathrm{m}$ は、重ね合わせの理より三相電流による誘導電圧の総和となります（角周波数を $\omega = 2\pi f$ とします）。

$$\begin{aligned} \dot{V}_\mathrm{m} &= \mathrm{j}\omega MD \dot{I}_\mathrm{a} + \mathrm{j}\omega MD \dot{I}_\mathrm{b} + \mathrm{j}\omega MD \dot{I}_\mathrm{c} \\[5pt] &= \mathrm{j}\omega MD (\dot{I}_\mathrm{a} + \dot{I}_\mathrm{b} + \dot{I}_\mathrm{c}) \end{aligned}$$

小問(1)の零相電流の定義式より、三相電流の総和は $(\dot{I}_\mathrm{a} + \dot{I}_\mathrm{b} + \dot{I}_\mathrm{c}) = 3\dot{I}_0$ であるため、

$$\begin{aligned} \dot{V}_\mathrm{m} &= \mathrm{j}\omega MD (3\dot{I}_0) \\[5pt] &= \mathrm{j}(2\pi f) MD \cdot 3\dot{I}_0 \\[5pt] &= \mathrm{j}6\pi fMD \dot{I}_0\ \mathrm{[V]} \end{aligned}$$

電磁誘導電圧の大きさ $|\dot{V}_\mathrm{m}|$ は複素数の絶対値をとることで得られます。

$$|\dot{V}_\mathrm{m}| = 6\pi fMD |\dot{I}_0|\ \mathrm{[V]}$$

小問(3)の解説：地絡電流 $|\dot{I}_\mathrm{a}|$ の上限値の計算

小問(1)より $|\dot{I}_0| = \frac{|\dot{I}_\mathrm{a}|}{3}$ であるため、小問(2)の誘導電圧の大きさを地絡電流 $|\dot{I}_\mathrm{a}|$ で表すと次のようになります。

$$\begin{aligned} |\dot{V}_\mathrm{m}| &= 6\pi fMD \cdot \frac{|\dot{I}_\mathrm{a}|}{3} \\[5pt] &= 2\pi fMD |\dot{I}_\mathrm{a}| \end{aligned}$$

問題の制約条件 $|\dot{V}_\mathrm{m}| \le 430\ \mathrm{V}$ より、

$$2\pi fMD |\dot{I}_\mathrm{a}| \le 430 \implies |\dot{I}_\mathrm{a}| \le \frac{430}{2\pi fMD}$$

与えられた条件を代入します。

• $f = 50\ \mathrm{Hz}$
• $\pi = 3.14$
• $M = 5.0\ \mathrm{mH/km} = 5.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{H/km}$
• $D = 0.8\ \mathrm{km}$

分母のインピーダンス成分を計算すると、

$$\begin{aligned} 2\pi fMD &= 2 \times 3.14 \times 50 \times (5.0 \times 10^{-3}) \times 0.8 \\[5pt] &= 314 \times 4.0 \times 10^{-3} \\[5pt] &= 1.256\ \Omega \end{aligned}$$

これより、$|\dot{I}_\mathrm{a}|$ の上限値を求めます。

$$\begin{aligned} |\dot{I}_\mathrm{a}| &\le \frac{430}{1.256} \\[5pt] &\approx 342.36\ \mathrm{[A]} \end{aligned}$$

したがって、有効数字を考慮した上限値は次のようになります。

$$342\ \mathrm{[A]}$$