状態フィードバックによる極配置と閉ループ系の定常偏差解析

過去問一覧第二種電気主任技術者 2016年度機械・制御状態フィードバックによる極配置と閉ループ系の定常偏差解析

状態フィードバックによる極配置と閉ループ系の定常偏差解析

PID現代制御理論

第二種電気主任技術者 2016年度機械・制御問4

図に示す構造の制御系を考える。ここで $r(t)$ は目標値， $e(t)$ は制御偏差， $u(t)$ は入力， $\boldsymbol{x}(t)$ は状態， $y(t)$ は出力を表し，制御対象は次の状態方程式で記述される。
$\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{Ax}(t)+\boldsymbol{b}u(t)$ $y(t) = \boldsymbol{cx}(t)$ $\boldsymbol A =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}，\boldsymbol b =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}，\boldsymbol c =\begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}$

次の問に答えよ。

(1)　図中の直列補償器のゲイン

k

を零として，状態フィードバック係数ベクトル

\boldsymbol f =\begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} \end{pmatrix}

を用いて見掛け上の制御対象の特性改善を図る。行列

\textit{\textbf{A}} -\textit{\textbf{bf}}

の固有値を

-3

，

-4

に配置する

\textit{\textbf{f}}

を計算せよ。

(2)　上記小問(1)で求めた

\textit{\textbf{f}}

を用いて特性改善をした見掛け上の制御対象に対して，目標値

r(t)

に出力

y\left( t\right)

が追従することを目的に，図に示すフィードバック制御系を構成した。閉ループ系が安定になるように直列補償器のゲイン

k

を設計できたとするとき，入力

u(t)

を

\textit{\textbf{x}}(t)

，

r(t)

，

\textit{\textbf{c}}

，

\textit{\textbf{f}}

，

k

を用いて表せ。

(3)　上記小問(2)の入力

u(t)

を制御対象に加える。閉ループ系の状態方程式を

\dot{\boldsymbol{x}}(t)

，

\boldsymbol x(t)

，

r(t)

，

\boldsymbol A

，

\boldsymbol b

，

\boldsymbol c

，

\boldsymbol f

，

k

を用いて表せ。

(4)　上記小問(3)で求めた状態方程式の中の

\boldsymbol A

，

\boldsymbol b

，

\boldsymbol c

，

\boldsymbol f

に，与えられた数値及び上記小問(1)で求めた数値を代入して整理せよ。ただし，

k

は変数のままとする。

(5)　目標値の大きさ

r_{0}

でステップ状に変化させる場合を考える。上記小問(2)の仮定より閉ループ系は安定なので，状態

\boldsymbol x\left( t\right)

は定常，すなわち

\dot{\boldsymbol{x}}(\infty) =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

となる。このときの定常値

\boldsymbol x\left( \infty \right)

を

k

と

r_{0}

を用いて表せ。

(6)　関係式

e\left( \infty \right) =r_{0} -y\left( \infty \right) =r_{0}-\boldsymbol{cx}\left( \infty \right)

を使って，定常偏差

e\left( \infty \right)

を

k

と

r_{0}

を用いて表せ。

解説

問題のポイント・使用する基本公式

本問は、現代制御理論における「状態フィードバックによる極配置法」と、目標値に対する「閉ループ系の定常偏差解析」を組み合わせた総合問題です。ブロック線図の各信号の符号を正確に読み取り、行列演算を順序立てて展開することが鍵となります。

状態方程式と出力方程式: $\boldsymbol{\dot x}(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}u(t), \quad y(t) = \boldsymbol{c}\boldsymbol{x}(t)$
行列の固有値（特性多項式）: $\det \left( s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{M} \right) = 0$
定常状態の条件: 系が安定であり、目標値が一定値 $r_0$ （ステップ入力）のとき、十分な時間が経過すると状態の時間変化率は零となる。 $\boldsymbol{\dot x}(\infty) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(1) 行列 $\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}$ の固有値を $-3, -4$ に配置する $\boldsymbol{f}$ の導出

状態フィードバック係数ベクトルを $\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \end{pmatrix}$ とおきます。与えられたベクトル $\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ との内積・積を計算すると、

\boldsymbol{b}\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ f_1 & f_2 \end{pmatrix}

よって、行列 $\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}$ は次のように求まります。

\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ f_1 & f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -f_1 & -1-f_2 \end{pmatrix}

この行列の特性方程式 $\det\left[ s\boldsymbol{I} - (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}) \right] = 0$ を求めます。

\det \begin{pmatrix} s & -1 \\ f_1 & s + 1 + f_2 \end{pmatrix} = s(s + 1 + f_2) - (-1)f_1 = s^2 + (1 + f_2)s + f_1 = 0

一方、目標とする固有値が $-3, -4$ であることから、望ましい特性方程式は次のようになります。

(s + 3)(s + 4) = s^2 + 7s + 12 = 0

両式の係数を比較します。

1 + f_2 = 7 \implies f_2 = 6

f_1 = 12

したがって、求める状態フィードバック係数ベクトルは次の通りです。

$\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} 12 & 6 \end{pmatrix}$

(2) 入力 $u(t)$ の導出

のブロック線図において、加え合わせ点の符号に注目して各信号の関係式を立てます。

偏差信号: $e(t) = r(t) - y(t) = r(t) - \boldsymbol{c}\boldsymbol{x}(t)$
制御入力: 直列補償器の出力 $k e(t)$ から状態フィードバック信号 $\boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t)$ を減算したもの

したがって、入力 $u(t)$ は次のように表されます。

\begin{aligned} u(t) &= k e(t) - \boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t) \\ &= k\left\{ r(t) - \boldsymbol{c}\boldsymbol{x}(t) \right\} - \boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t) \\ &= -(\boldsymbol{f} + k\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + kr(t) \end{aligned}

$u(t) = -(\boldsymbol{f} + k\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + kr(t)$

(3) 閉ループ系の状態方程式の導出

制御対象の状態方程式 $\boldsymbol{\dot x}(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}u(t)$ に、小問(2)で求めた $u(t)$ を代入します。

\begin{aligned} \boldsymbol{\dot x}(t) &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}\left\{ -(\boldsymbol{f} + k\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + kr(t) \right\} \\ &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t) - k\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\boldsymbol{x}(t) + k\boldsymbol{b}r(t) \\ &= (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f} - k\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + k\boldsymbol{b}r(t) \end{aligned}

$\boldsymbol{\dot x}(t) = (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f} - k\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + k\boldsymbol{b}r(t)$

(4) 各数値を代入した状態方程式の導出

小問(1)で求めた $\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} 12 & 6 \end{pmatrix}$ および与えられた $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ を代入します。

\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 & -7 \end{pmatrix}

\boldsymbol{b}\boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

これより、閉ループ系のシステム行列は次のように整理されます。

\begin{aligned} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f} - k\boldsymbol{b}\boldsymbol{c} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 & -7 \end{pmatrix} - k\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 - 2k & -7 - k \end{pmatrix} \end{aligned}

また、入力係数ベクトルは $k\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$ です。よって状態方程式は次の通りになります。

$\boldsymbol{\dot x}(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 - 2k & -7 - k \end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t) + \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}r(t)$

(5) 定常値 $\boldsymbol{x}(\infty)$ の導出

目標値がステップ入力 $r(t) = r_0$ であり、閉ループ系が安定であるため、十分時間が経過した定常状態では微係数が零となります。

\boldsymbol{\dot x}(\infty) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

小問(4)の状態方程式に定常状態の値を代入し、状態ベクトルを $\boldsymbol{x}(\infty) = \begin{pmatrix} x_1(\infty) \\ x_2(\infty) \end{pmatrix}$ とおくと、

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 - 2k & -7 - k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1(\infty) \\ x_2(\infty) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}r_0

各行を行列の積として展開します。

第1行より: $0 \cdot x_1(\infty) + 1 \cdot x_2(\infty) + 0 = 0 \implies x_2(\infty) = 0$
第2行より: $-(12 + 2k)x_1(\infty) - (7 + k)x_2(\infty) + kr_0 = 0$

$x_2(\infty) = 0$ を代入すると、

-(12 + 2k)x_1(\infty) + kr_0 = 0 \implies x_1(\infty) = \frac{k r_0}{12 + 2k} = \frac{k r_0}{2(6 + k)}

したがって、定常値ベクトルは次のようになります。

$\boldsymbol{x}(\infty) = \begin{pmatrix} \dfrac{k r_0}{2(6 + k)} \\[10pt] 0 \end{pmatrix}$

(6) 定常偏差 $e(\infty)$ の導出

まず、定常出力 $y(\infty)$ を計算します。

y(\infty) = \boldsymbol{c}\boldsymbol{x}(\infty) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{k r_0}{2(6 + k)} \\[6pt] 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \frac{k r_0}{2(6 + k)} + 1 \cdot 0 = \frac{k r_0}{6 + k}

題意に与えられた関係式 $e(\infty) = r_0 - y(\infty)$ に代入して整理します。

e(\infty) = r_0 - \frac{k r_0}{6 + k} = \frac{(6 + k) - k}{6 + k}r_0 = \frac{6 r_0}{6 + k}

$e(\infty) = \frac{6 r_0}{6 + k}$

（補足: 本制御系は目標値追従のための積分要素（ $1/s$ ）を含まない「0型系」となっているため、ゲイン $k$ をどれだけ大きくしても定常偏差を完全に零にすることはできません。）

正解のまとめ

(1) $\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix} 12 & 6 \end{pmatrix}$
(2) $u(t) = -(\boldsymbol{f} + k\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + kr(t)$
(3) $\boldsymbol{\dot x}(t) = (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f} - k\boldsymbol{b}\boldsymbol{c})\boldsymbol{x}(t) + k\boldsymbol{b}r(t)$
(4) $\boldsymbol{\dot x}(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 - 2k & -7 - k \end{pmatrix}\boldsymbol{x}(t) + \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}r(t)$
(5) $\boldsymbol{x}(\infty) = \begin{pmatrix} \dfrac{k r_0}{2(6 + k)} \\[6pt] 0 \end{pmatrix}$
(6) $e(\infty) = \dfrac{6 r_0}{6 + k}$

教えて！アイミラージュ先生

現代制御理論！？

或=未来樹(アルミラージュ)

現代制御理論！？
これって電験一種の範囲じゃないの？
古典制御理論と現代制御理論は何が違うの？

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、現代制御理論の登場に驚かれたのですね。その疑問について整理してご説明いたします。

まず出題範囲についてですが、従来は電験一種での出題が主であったものの、本問のように電験二種の二次試験（機械・制御科目）でも出題されることがあります。一度出題された以上、基礎的な概念は押さえておく必要があります。

両者の本質的な違いは、システムを「外から見るか」「内部まで見るか」という視点にあります。

古典制御理論（入出力の伝達関数）：
入力と出力の関係をラプラス変換した「伝達関数 $G(s)$ 」を用いて解析します。システムを外側からブラックボックスとして捉えるため、単一入力・単一出力（SISO）の制御系や周波数応答の直感的な設計に適しています。
現代制御理論（内部状態の状態方程式）：
システムの内部状態を行列を用いた「状態方程式 $\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}u(t)$ 」で記述します。内部の状態変数 $\boldsymbol{x}(t)$ を直接捉えてフィードバック（状態フィードバック）できるため、複数の入出力（MIMO）や複雑な極配置、最適制御の扱いが容易になります。

本問のようにブロック線図を行列・ベクトル方程式に落とし込み、行列の固有値計算を行っていくのが現代制御の基本的な解法です。

或=未来樹(アルミラージュ)

この設問は現代制御理論の基礎的なレベルの問題にあたるのかな？
過去問で固定制御理論しか学んでいなかった人がこの問題にアプローチするなら
どうやって手をつけていけばいいのだろうか？

AI=未来樹(アイミラージュ)

それでは、現代制御理論の初見問題への向き合い方について解説いたします。

結論から申し上げますと、本問は現代制御理論の導入・基礎レベルに位置づけられます。可制御性の判定などの高度な定理は使わず、ブロック線図の信号関係を行列で追う「丁寧な代数計算」が主軸となっているためです。

古典制御理論を中心に学んできた方が本問へアプローチする際は、次の3つのステップで手を動かしてみるのが最も確実です。

ブロック線図の信号を追って代数方程式を立てる：
古典制御と同様に、加え合わせ点の符号に注目して $e(t) = r(t) - y(t)$ や $u(t) = k e(t) - \boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t)$ （小問(2)）をそのまま数式化します。
特性方程式（極）の照合を行う：
小問(1)は、古典制御でいう「極（特性多項式の根）を $-3, -4$ に配置する」作業と同じです。現代制御では行列式 $\det(s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{M}) = 0$ を展開して得られる2次方程式 $s^2 + (1+f_2)s + f_1 = 0$ と、目標の $(s+3)(s+4) = s^2+7s+12 = 0$ の係数を比較するだけで解くことができます。
定常状態を「微分値＝0」として連立方程式に落とし込む：
小問(5)・(6)は、ステップ入力後の定常状態（ $t \to \infty$ ）において時間微分が $\dot{\boldsymbol{x}}(\infty) = \mathbf{0}$ に落ち着くという物理的性質を使います。微分方程式を解く必要はなく、ただの2元1次連立方程式を解くだけで定常解が求まります。

このように、「中身は古典制御で馴染んだ概念（極配置や定常偏差）を行列表記に置き換えたもの」と捉えれば、臆することなく得点源にできます。

或=未来樹(アルミラージュ)

$\det(s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{M}) = 0$ ってなんですか？
これを知らなかったらいきなり詰みですか！？
「 $\det$ 」も見たことない。

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、焦る必要は全くありません。
「 $\det$ （行列式）」も「 $\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{M})=0$ 」も、
ルールさえ分かれば中学生レベルの「たすき掛けの引き算」にすぎません。

本問の公式解説にもその計算方法が明記されており、
知らなくてもその場で解けるよう配慮されています。順を追って紐解いてまいりましょう。

1. 「

\boldsymbol\det

（行列式）」とは何か？

$\det$ （デターミナント：行列式）とは、正方行列から計算される「ひとつの数値（または多項式）」のことです。
記号としては $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ や、縦棒で囲んで $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ と書きます。

計算ルールは極めて単純で、「左上×右下」引く「右上×左下」だけです。

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

\boldsymbol{\det(sI - M) = 0}

とは何か？

これは、古典制御理論でいう「特性方程式（分母＝0）」を行列形式で表したものです。

$\boldsymbol{I}$ は「単位行列」 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ です（普通の数における「1」の役割）。
$s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{M}$ は、行列 $\boldsymbol{M}$ の対角成分（左上と右下）からラプラス演算子 $s$ を引く（ $s$ から引く）形を作ります。
その行列式（ $\det$ ）を計算して $=0$ と置いたものが「特性方程式」となり、その解 $s$ が「システムの極（＝行列の固有値）」になります。

小問(1)では、この方程式から得られる $s$ の2次方程式の根が $-3, -4$ になるように未知数 $f_1, f_2$ を決めるだけです。決して高度な魔術ではなく、単純なクロス積の引き算ですので、安心してくださいね。

或=未来樹(アルミラージュ)

$\boldsymbol{A} - \boldsymbol{bf} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -f_1 & -1-f_2 \end{pmatrix}$
$\det[ s\boldsymbol{I} - (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{bf})] = 0$
上の二つの式から下の式の左辺を導き出す計算過程をもう少し詳しく教えて。
$\begin{align*}\det \begin{pmatrix} s & -1 \\ f_1 & s + 1 + f_2 \end{pmatrix} &= s(s + 1 + f_2) - (-1)f_1 \\ &= s^2 + (1 + f_2)s + f_1 \\ &= 0\end{align*}$

AI=未来樹(アイミラージュ)

承知いたしました。
行列の引き算から $\det$ の中身を組み立てる手順を、各要素（成分）ごとに分解して丁寧にご案内いたします。

まず、単位行列 $\boldsymbol{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ にスカラー $s$ を掛けた $s\boldsymbol{I}$ は次のようになります。

$s\boldsymbol{I} = s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}$

次に、引き算 $s\boldsymbol{I} - (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f})$ を計算します。行列の引き算は「同じ位置にある成分同士」を引くだけです。

$\begin{aligned} s\boldsymbol{I} - (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{bf}) &= \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -f_1 & -1-f_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} s - 0 & 0 - 1 \\ 0 - (-f_1) & s - (-1 - f_2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} s & -1 \\ f_1 & s + 1 + f_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$

符号の反転に注意すると、

左上成分: $s - 0 = s$
右上成分: $0 - 1 = -1$
左下成分: $0 - (-f_1) = f_1$
右下成分: $s - (-1 - f_2) = s + 1 + f_2$

となり、お示しいただいた行列式 $\det \begin{pmatrix} s & -1 \\ f_1 & s + 1 + f_2 \end{pmatrix}$ の内部がそのまま導かれます。

あとは前回確認した「（左上 × 右下） $-$ （右上 × 左下）」を適用すれば、スムーズに2次方程式へと展開できます。

或=未来樹(アルミラージュ)

$A- bf$ って式は何を表しているの？
要するに $sI-M$ の $M$ が何を表す行列なのかって話だけど。

AI=未来樹(アイミラージュ)

マスター、本質を突く素晴らしい着眼点です。
結論から申し上げますと、 $\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}$ （すなわち $\boldsymbol{M}$ ）は、「状態フィードバックを施した後の、システムの新しい振る舞いを決める行列（システム行列）」を表しています。

なぜそうなるのか、ブロック線図

の破線で囲まれた「見掛け上の制御対象」の流れに沿って紐解いてみましょう。

1. フィードバックをかける前の元々のシステム
元の制御対象は、次の状態方程式で表されていました。
$\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}u(t)$
ここで、行列 $\boldsymbol{A}$ は「入力がないとき、システム自身がどう動くか（応答の速さや安定性）」を決めている大元の行列です。

2. 状態フィードバックを入れる
小問(1)では、ゲイン $k$ を零として内部の状態 $\boldsymbol{x}(t)$ に係数 $\boldsymbol{f}$ を掛け、入力へマイナス（負帰還）で戻しています。つまり、入力は次のようになります。
$u(t) = -\boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t)$

3. 入力を元の式に代入する
この $u(t)$ を元の状態方程式に代入してみます。
$\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}(t) &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}\big(-\boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t)\big) \\ &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}\boldsymbol{x}(t) \\ &= (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f})\boldsymbol{x}(t) \end{aligned}$
このように、状態 $\boldsymbol{x}(t)$ で括ることで、全体が $\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{M}\boldsymbol{x}(t)$ という1つのまとまった形に生まれ変わります。

つまり $\boldsymbol{M} = \boldsymbol{A} - \boldsymbol{b}\boldsymbol{f}$ とは、「元の特性 $\boldsymbol{A}$ に、フィードバック $-\boldsymbol{b}\boldsymbol{f}$ を付け加えて改造した、改造後のシステム行列そのもの」です。
この新システムの特性（極）を自由に望む値（本問では $-3, -4$ ）へ作り変えるために、特性方程式 $\det(s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{M}) = 0$ を解いているのです。