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降圧チョッパ回路の定常動作と各部電圧・電流波形の導出

交流電力調整回路
第二種電気主任技術者 2024年度 機械・制御 問3

図1は電源電圧をE E ，負荷電圧をvO v_{\mathrm {O}} とし，抵抗成分を無視できるインダクタンスL L とキャパシタンスC C によるチョッパ回路である。理想的な半導体スイッチQ \mathrm {Q} と順方向電圧降下を無視できるダイオードD \mathrm {D} を用いている。E=12 V E= 12 \ \mathrm {V} ，L=450 μH L=450 \ \mathrm {\mu H} ，R=1 Ω R=1 \ \mathrm {\Omega } であり，十分に大きいC C によってvO v_{\mathrm {O}} は一定値VO V_{\mathrm {O}} ，負荷電流iO i_{\mathrm {O}} は一定値IO I_{\mathrm {O}} とみなすことができる。Q \mathrm {Q} は図2のオン・オフ状態で動作しており，この回路は周期定常状態にあるものとする。図2と同じものが答案用紙に描かれている。インダクタ電流は連続しているものとして，以下の問に答えよ。

(1)　インダクタ電圧vL v_{\mathrm {L}} の波形を答案用紙に描け。なお，vL v_{\mathrm {L}} の最大値及び最小値を図中にE E とvO(=VO) v_{\mathrm {O}}\left( =V_{\mathrm {O}}\right) を用いて表せ。

(2)　VO V_{\mathrm {O}} の値を求めよ。

(3)　IO I_{\mathrm {O}} の値を求めよ。

(4)　インダクタ電流iL i_{\mathrm {L}} の平均値IL I_{\mathrm {L}} を求めよ。

(5)　iL i_{\mathrm {L}} の最大値と最小値の差（リプル）を求めよ。

(6)　iL i_{\mathrm {L}} の波形を答案用紙に描け。最大値と最小値を明示せよ。

(7)　ダイオード電流iD i_{\mathrm {D}} の波形を答案用紙に描け。最大値を明示せよ。

(8)　iL i_{\mathrm {L}} の最大値と最小値の差（リプル）を0.1 A 0.1 \ \mathrm {A} とするためのL L の値を求めよ。

問題図

問題図

解説

本問は、パワーエレクトロニクスの基礎である降圧チョッパ回路の定常動作を解析する問題です。

本問を解くにあたって必要な重要原理は以下の3点です。

  • インダクタ電圧の定義：図1中の矢印（←\leftarrow）より、vLv_{\mathrm{L}} はインダクタの左端電位から右端電位を引いた電位差を表します。
  • ボルト秒バランス（インダクタの電圧時間積のつり合い）：周期定常状態において、インダクタに加わる電圧の1周期平均は零（1T∫0TvL dt=0\displaystyle\frac{1}{T}\int_0^T v_{\mathrm{L}}\,dt = 0）となります。
  • アンペア秒バランス（キャパシタの電荷保存則）：周期定常状態において、十分大きな平滑キャパシタ CC に流れる電流の1周期平均は零（iC‾=0\overline{i_{\mathrm{C}}} = 0）となります。

図2から読み取れる動作パラメータ

図2より、スイッチ Q\mathrm{Q} のスイッチング周期 TT およびオン期間 TonT_{\mathrm{on}}、オフ期間 ToffT_{\mathrm{off}} は以下のようになります。

  • 周期：T=200 μsT = 200\ \mathrm{\mu s}
  • オン時間：Ton=50 μsT_{\mathrm{on}} = 50\ \mathrm{\mu s}
  • オフ時間：Toff=200−50=150 μsT_{\mathrm{off}} = 200 - 50 = 150\ \mathrm{\mu s}
  • 通流率（デューティ比）：D=TonT=50200=0.25D = \displaystyle \frac{T_{\mathrm{on}}}{T} = \frac{50}{200} = 0.25

(1) インダクタ電圧 vLv_{\mathrm{L}} の波形

インダクタの右端は出力端子に接続されているため、電位は vO=VOv_{\mathrm{O}} = V_{\mathrm{O}} で一定です。左端の電位はスイッチ Q\mathrm{Q} のオン・オフによって変化します。

  • スイッチ Q\mathrm{Q} がオンのとき（0≤t<50 μs0 \le t < 50\ \mathrm{\mu s}）：
    電源からダイオードのカソードへ電圧 EE が印加され、ダイオード D\mathrm{D} は逆バイアス（遮断）されます。インダクタの左端電位は EE となるため、インダクタ電圧は
    vL=E−vO(または E−VO)v_{\mathrm{L}} = E - v_{\mathrm{O}}\quad (\text{または } E - V_{\mathrm{O}})
  • スイッチ Q\mathrm{Q} がオフのとき（50 μs≤t<200 μs50\ \mathrm{\mu s} \le t < 200\ \mathrm{\mu s}）：
    インダクタ電流 iLi_{\mathrm{L}} を維持するため、ダイオード D\mathrm{D} が順バイアスされて導通（還流動作）します。インダクタの左端電位は 0 V0\ \mathrm{V} となるため、インダクタ電圧は
    vL=0−vO=−vO(または −VO)v_{\mathrm{L}} = 0 - v_{\mathrm{O}} = -v_{\mathrm{O}}\quad (\text{または } -V_{\mathrm{O}})

したがって、波形はオン期間に高さ E−vOE - v_{\mathrm{O}}、オフ期間に高さ −vO-v_{\mathrm{O}} をとる矩形波となります。

波形はオン期間に E−vOE - v_{\mathrm{O}}、オフ期間に −vO-v_{\mathrm{O}} となる矩形波。
最大値：E−vOE - v_{\mathrm{O}}、最小値：−vO-v_{\mathrm{O}}

(2) 負荷電圧 VOV_{\mathrm{O}} の値

周期定常状態において、インダクタ電圧の1周期の積分（電圧時間積）は零となります（ボルト秒バランス）。

(E−VO)Ton+(−VO)Toff=0(E - V_{\mathrm{O}})T_{\mathrm{on}} + (-V_{\mathrm{O}})T_{\mathrm{off}} = 0E⋅Ton=VO(Ton+Toff)E \cdot T_{\mathrm{on}} = V_{\mathrm{O}}(T_{\mathrm{on}} + T_{\mathrm{off}})

したがって、降圧チョッパの出力電圧は次式で表されます。

VO=TonTE=DEV_{\mathrm{O}} = \frac{T_{\mathrm{on}}}{T} E = D E

数値を代入すると、

VO=50200×12=3 VV_{\mathrm{O}} = \frac{50}{200} \times 12 = 3\ \mathrm{V}

VO=3 VV_{\mathrm{O}} = 3\ \mathrm{V}

(3) 負荷電流 IOI_{\mathrm{O}} の値

負荷抵抗 R=1 ΩR = 1\ \mathrm{\Omega} に一定電圧 VO=3 VV_{\mathrm{O}} = 3\ \mathrm{V} が加わっているため、オームの法則より直ちに求まります。

IO=VOR=31=3 AI_{\mathrm{O}} = \frac{V_{\mathrm{O}}}{R} = \frac{3}{1} = 3\ \mathrm{A}

IO=3 AI_{\mathrm{O}} = 3\ \mathrm{A}

(4) インダクタ電流 iLi_{\mathrm{L}} の平均値 ILI_{\mathrm{L}}

接続点におけるキルヒホッフの電流則より、iL=iC+iOi_{\mathrm{L}} = i_{\mathrm{C}} + i_{\mathrm{O}} です。
1周期の平均値をとると、定常状態においてキャパシタ電流の平均値は零（IC=0I_{\mathrm{C}} = 0）となるため、

IL=IC+IO=0+3=3 AI_{\mathrm{L}} = I_{\mathrm{C}} + I_{\mathrm{O}} = 0 + 3 = 3\ \mathrm{A}

IL=3 AI_{\mathrm{L}} = 3\ \mathrm{A}

(5) iLi_{\mathrm{L}} の最大値と最小値の差（リプル）

インダクタの電圧・電流の関係式 vL=LdiLdt\displaystyle v_{\mathrm{L}} = L\frac{di_{\mathrm{L}}}{dt} より、電流の変化率（傾き）は diLdt=vLL\displaystyle\frac{di_{\mathrm{L}}}{dt} = \frac{v_{\mathrm{L}}}{L} です。

オン期間（Ton=50 μsT_{\mathrm{on}} = 50\ \mathrm{\mu s}）において加わる電圧は vL=E−VO=12−3=9 Vv_{\mathrm{L}} = E - V_{\mathrm{O}} = 12 - 3 = 9\ \mathrm{V} で一定であるため、電流の増加量 ΔiL\Delta i_{\mathrm{L}} は

ΔiL=E−VOLTon=9450×10−6×50×10−6=1 A\Delta i_{\mathrm{L}} = \frac{E - V_{\mathrm{O}}}{L} T_{\mathrm{on}} = \frac{9}{450 \times 10^{-6}} \times 50 \times 10^{-6} = 1\ \mathrm{A}

※なお、オフ期間の減少量で検算すると、VOLToff=3450×10−6×150×10−6=1 A\displaystyle\frac{V_{\mathrm{O}}}{L} T_{\mathrm{off}} = \frac{3}{450 \times 10^{-6}} \times 150 \times 10^{-6} = 1\ \mathrm{A} となり、完全に一致します。

1 A1\ \mathrm{A}

(6) iLi_{\mathrm{L}} の波形

インダクタ電圧が矩形波であるため、インダクタ電流は直線的に上昇・下降を繰り返す三角波となります。
平均値 IL=3 AI_{\mathrm{L}} = 3\ \mathrm{A}，リプル幅 ΔiL=1 A\Delta i_{\mathrm{L}} = 1\ \mathrm{A} より、最大値と最小値は平均値を中心に対称となるため、

ILmax=IL+ΔiL2=3+0.5=3.5 AI_{\mathrm{Lmax}} = I_{\mathrm{L}} + \frac{\Delta i_{\mathrm{L}}}{2} = 3 + 0.5 = 3.5\ \mathrm{A}ILmin=IL−ΔiL2=3−0.5=2.5 AI_{\mathrm{Lmin}} = I_{\mathrm{L}} - \frac{\Delta i_{\mathrm{L}}}{2} = 3 - 0.5 = 2.5\ \mathrm{A}

答案用紙には、以下の各点を直線で結んだ三角波を描きます。

  • t=0 μst = 0\ \mathrm{\mu s}：2.5 A2.5\ \mathrm{A}
  • t=50 μst = 50\ \mathrm{\mu s}：3.5 A3.5\ \mathrm{A}（オン期間に直線的に増加）
  • t=200 μst = 200\ \mathrm{\mu s}：2.5 A2.5\ \mathrm{A}（オフ期間に直線的に減少）
  • 以後、200 μs200\ \mathrm{\mu s} ごとに同様の波形を繰り返す。

2.5 A2.5\ \mathrm{A} と 3.5 A3.5\ \mathrm{A} の間を直線的に増減する三角波。
最大値：3.5 A3.5\ \mathrm{A}、最小値：2.5 A2.5\ \mathrm{A}

(7) ダイオード電流 iDi_{\mathrm{D}} の波形

ダイオード電流 iDi_{\mathrm{D}} は、

  • スイッチ Q\mathrm{Q} がオンのとき：ダイオードは逆バイアスされるため、iD=0 Ai_{\mathrm{D}} = 0\ \mathrm{A}
  • スイッチ Q\mathrm{Q} がオフのとき：インダクタ電流が還流ダイオードを通るため、iD=iLi_{\mathrm{D}} = i_{\mathrm{L}}

したがって、t=50 μst = 50\ \mathrm{\mu s} で瞬時に 0 A0\ \mathrm{A} から 3.5 A3.5\ \mathrm{A} に跳ね上がり、t=200 μst = 200\ \mathrm{\mu s} までかけて 2.5 A2.5\ \mathrm{A} へ直線的に減少します。

オン期間は 0 A0\ \mathrm{A}、オフ期間は 3.5 A3.5\ \mathrm{A} から 2.5 A2.5\ \mathrm{A} へ減少する直線となる台形波。
最大値：3.5 A3.5\ \mathrm{A}

(8) リプルを 0.1 A0.1\ \mathrm{A} とする LL の値

(5)式より、リプル ΔiL=(E−VO)TonL\displaystyle\Delta i_{\mathrm{L}} = \frac{(E - V_{\mathrm{O}})T_{\mathrm{on}}}{L} であるため、求めるインダクタンス LL は

L=(E−VO)TonΔiL=(12−3)×50×10−60.1=450×10−60.1=4.5×10−3 H=4.5 mHL = \frac{(E - V_{\mathrm{O}})T_{\mathrm{on}}}{\Delta i_{\mathrm{L}}} = \frac{(12 - 3) \times 50 \times 10^{-6}}{0.1} = \frac{450 \times 10^{-6}}{0.1} = 4.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{H} = 4.5\ \mathrm{mH}

4.5 mH4.5\ \mathrm{mH}（または 4.5×10−3 H4.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{H}）

正解のまとめ

  • (1) 波形はオン時 E−vOE - v_{\mathrm{O}}、オフ時 −vO-v_{\mathrm{O}} の矩形波。最大値：E−vOE - v_{\mathrm{O}}、最小値：−vO-v_{\mathrm{O}}
  • (2) 3 V3\ \mathrm{V}
  • (3) 3 A3\ \mathrm{A}
  • (4) 3 A3\ \mathrm{A}
  • (5) 1 A1\ \mathrm{A}
  • (6) 2.5 A∼3.5 A2.5\ \mathrm{A} \sim 3.5\ \mathrm{A} の三角波。最大値：3.5 A3.5\ \mathrm{A}、最小値：2.5 A2.5\ \mathrm{A}
  • (7) オン時 0 A0\ \mathrm{A}、オフ時 3.5 A→2.5 A3.5\ \mathrm{A} \to 2.5\ \mathrm{A} の波形。最大値：3.5 A3.5\ \mathrm{A}
  • (8) 4.5 mH4.5\ \mathrm{mH}