【ステップバイステップ解法】

(1) 目標値 $R(s)$ から制御量 $Y(s)$ までの閉ループ伝達関数 $W(s)$

ブロック線図

を見ると、内側の加算点に速度帰還 $K_2 s Y(s)$、外側の加算点に主フィードバック $Y(s)$ がそれぞれ負帰還されています。各加算点の出力信号を定義して立式します。

① 外側の減算点の出力（制御偏差）を $E(s)$ とすると、

$$E(s) = R(s) - Y(s)$$

② これに比例ゲイン $K_1$ が掛かり、さらに内側の減算点で帰還信号 $K_2 s Y(s)$ が減算されます。制御対象 $\dfrac{1}{s(s+2)(s+4)}$ への入力信号を $U(s)$ とおくと、

$$U(s) = K_1 E(s) - K_2 s Y(s) = K_1 \{R(s) - Y(s)\} - K_2 s Y(s)$$

③ 出力 $Y(s)$ は、入力 $U(s)$ に制御対象の伝達関数を乗じたものであるため、

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+2)(s+4)} U(s) = \frac{K_1 R(s) - (K_1 + K_2 s) Y(s)}{s(s+2)(s+4)}$$

両辺に分母 $s(s+2)(s+4)$ を掛けます。

$$s(s+2)(s+4) Y(s) = K_1 R(s) - (K_1 + K_2 s) Y(s)$$

$Y(s)$ を含む項をすべて左辺に移項して整理します。

$$\left[ s(s+2)(s+4) + K_2 s + K_1 \right] Y(s) = K_1 R(s)$$

ここで、多項式を展開します。

$$s(s+2)(s+4) = s(s^2 + 6s + 8) = s^3 + 6s^2 + 8s$$

したがって、括弧内は

$$s^3 + 6s^2 + (8 + K_2)s + K_1$$

となり、閉ループ伝達関数 $W(s) = \dfrac{Y(s)}{R(s)}$ は次のようになります。

$$W(s) = \frac{K_1}{s^3 + 6s^2 + (8 + K_2)s + K_1}$$

(2) 特性根を $-1, -2$ とするゲイン $K_1, K_2$ およびその他の特性根

閉ループ系の特性方程式は、伝達関数 $W(s)$ の分母多項式を $0$ と置いたものです。

$$s^3 + 6s^2 + (8 + K_2)s + K_1 = 0$$

この3次方程式の3つの根を $-1$、$-2$、そして残りのもう一つの根を $s_3$ とおきます。

【解法：根と係数の関係の利用】
3次の代数方程式 $s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = 0$ において、根の和は $-a_2$ に等しくなります。
本問の特性方程式における $s^2$ の係数は $6$ ですから、

$$(-1) + (-2) + s_3 = -6$$ $$-3 + s_3 = -6 \implies s_3 = -3$$

これにより、直ちにその他の特性根が $-3$ であることが求まります。

したがって、特性多項式は次のように因数分解されます。

$$(s + 1)(s + 2)(s + 3) = 0$$

この左辺を展開します。

$$(s^2 + 3s + 2)(s + 3) = s^3 + 6s^2 + 11s + 6 = 0$$

特性方程式 $s^3 + 6s^2 + (8 + K_2)s + K_1 = 0$ と各次数の係数を比較すると、

• $s$ の係数：$8 + K_2 = 11 \implies K_2 = 3$
• 定数項：$K_1 = 6$

$$K_1 = 6, \quad K_2 = 3, \quad \text{その他の特性根: } -3$$

(3) 単位インパルス応答 $y(t)$

小問(2)で得られた $K_1 = 6$、$K_2 = 3$ を代入すると、閉ループ伝達関数は次のようになります。

$$W(s) = \frac{6}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$

入力が単位インパルス信号 $r(t) = \delta(t)$ のとき、そのラプラス変換は $R(s) = 1$ です。したがって、出力 $Y(s)$ は伝達関数そのものに一致します。

$$Y(s) = W(s) R(s) = \frac{6}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$

この有理関数を次のように部分分数分解します。

$$Y(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s+3}$$

各係数 $A, B, C$ はヘビサイドの展開定理（留数計算）を用いて効率的に求められます。

• $$A = \lim_{s \to -1} (s+1)Y(s) = \frac{6}{(-1+2)(-1+3)} = \frac{6}{(1)(2)} = 3$$
• $$B = \lim_{s \to -2} (s+2)Y(s) = \frac{6}{(-2+1)(-2+3)} = \frac{6}{(-1)(1)} = -6$$
• $$C = \lim_{s \to -3} (s+3)Y(s) = \frac{6}{(-3+1)(-3+2)} = \frac{6}{(-2)(-1)} = 3$$

よって、$Y(s)$ は次のように展開されます。

$$Y(s) = \frac{3}{s+1} - \frac{6}{s+2} + \frac{3}{s+3}$$

公式 $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+a}\right] = e^{-at}$ を用いて各項をラプラス逆変換すると、単位インパルス応答 $y(t)$ が求まります。

$$y(t) = 3e^{-t} - 6e^{-2t} + 3e^{-3t} \quad (t \ge 0)$$