整流器とPWMインバータによる誘導電動機駆動システムの諸量計算

過去問一覧第二種電気主任技術者 2022年度機械・制御整流器とPWMインバータによる誘導電動機駆動システムの諸量計算

整流器とPWMインバータによる誘導電動機駆動システムの諸量計算

交流電力調整回路

第二種電気主任技術者 2022年度機械・制御問3

三相誘導電動機を駆動する電力変換システムに関して，次の問に答えよ。
図1は対称三相交流電源，三相ダイオード整流器，直流フィルタ回路， $\mathrm {PWM}$ 制御三相電圧形インバータ及び三相誘導電動機からなるシステムを示す。ここで，交流電源は電源インピーダンスが無視でき，パワーデバイス及び回路に損失はないものとする。以下の問に答えよ。

(1)　図1において，直流リアクトル $\mathrm {DCL}$ に流れる直流電流は一定とすると，直流電圧は三相整流電圧平均値となる。三相交流電源は実効値 $220 \ \mathrm {V}$ ， $50 \ \mathrm {Hz}$ とすると，直流電圧 $E_{\mathrm {d}} \ \mathrm {[V]}$ はいくらであるか，数値で答えよ。

(2)　小問(1)において，誘導電動機を運転したところ，有効電力は $10 \ \mathrm {kW}$ であった。直流電流 $I_{\mathrm {d}} \ \mathrm {[A]}$ はいくらであるか，数値で答えよ。

(3)　三相ダイオード整流器は力率 $1$ で運転している。小問

(1)，(2)において，入力の交流電源電流

i_{\mathrm {a}}

の基本波実効値

I_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[A]}

はいくらであるか，数値で答えよ。

次に，図2は，図1のインバータの $\mathrm {PWM}$ 制御で使われている三相正弦波信号波 $v_{\mathrm {u}}^{*}$ ， $v_{\mathrm {v}}^{*}$ ， $v_{\mathrm {w}}^{*}$ とキャリア波 $v_{\mathrm {c}}$ を示す。キャリア波の周波数は信号波の周波数に対して十分大きいものとする。以下の問に答えよ。

(4)　信号波(振幅 $0.9$ )とキャリア波(振幅 $1$ )が図2に示す波形であるときに，直流電圧 $E_{\mathrm {d}}$ の中点から見たインバータの出力相電圧 $v_{\mathrm {u}}$ の基本波波高値 $V_{\mathrm {up}}$ はいくらであるか，数値で答えよ。

(5)　小問(4)において，インバータの $\mathrm {u-v}$ 相出力線間電圧 $v_{\mathrm {uv}}$ の基本波実効値 $V_{\mathrm {uve}}$ はいくらであるか，数値で答えよ。

(6)　インバータは電動機を可変するために $\mathrm {V / f}$ 一定制御をしている。誘導電動機の定格周波数 $50 \ \mathrm {Hz}$ 時に定格電圧を発生するための $\mathrm {u}$ 相信号波が図 2に示す $v_{\mathrm {u}}^{*}$ であり，改めてこのときの信号波を $v_{\mathrm {u50}}^{*}$ と呼ぶ。出力周波数 $25 \ \mathrm {Hz}$ ではどのような $\mathrm {u}$ 相信号波 $v_{\mathrm {u25}}^{*}$ とすべきか，信号 $v_{\mathrm {u50}}^{*}$ を $4$ 周期分書き込んだ図が解答用紙に示してあるので， $v_{\mathrm {u25}}^{*}$ を信号の大きさ及び周期が明確に分かるように追記せよ。

解説

【問題のポイントと基本公式】

本問は、交流電源からダイオード整流器を経て直流中間回路を形成し、PWM三相電圧形インバータで誘導電動機を可変速駆動する、典型的な電力変換システムの総合問題です。

三相ダイオード整流回路の出力平均電圧： 交流線間電圧実効値を $V$ とすると、 $E_{\mathrm{d}} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}V \approx 1.35V$
電力保存則（損失無視）： 電源入力有効電力 $P_\mathrm{i}$ 、直流電力 $P_\mathrm{d}$ 、電動機有効電力 $P$ はすべて等しい。 $P = E_{\mathrm{d}} I_{\mathrm{d}} = \sqrt{3} V I_{\mathrm{a}} \cos\phi_1$
正弦波PWMインバータの出力電圧（直流中点基準）： キャリア波振幅を $1$ 、信号波振幅を $M$ （変調率 $0 \le M \le 1$ ）とすると、直流中点に対する出力相電圧の基本波波高値 $V_{\mathrm{up}}$ は、 $V_{\mathrm{up}} = M \cdot \frac{E_{\mathrm{d}}}{2}$ 三相対称時の基本波線間電圧実効値 $V_{\mathrm{uve}}$ は、相電圧実効値 $V_{\mathrm{upe}} = \frac{V_{\mathrm{up}}}{\sqrt{2}}$ の $\sqrt{3}$ 倍となる。 $V_{\mathrm{uve}} = \sqrt{3} V_{\mathrm{upe}} = \sqrt{\frac{3}{2}} V_{\mathrm{up}}$
$V/f$ 一定制御： 電動機内部の主磁束を一定に保ち磁気飽和を防ぐため、出力周波数 $f$ に比例させて出力電圧 $V$ を制御する。

(1) 直流電圧 $E_{\mathrm{d}}$ の導出と計算

交流電源の線間電圧実効値は $V = 220\ \mathrm{V}$ です。
三相ダイオード整流器では、 $60^\circ$ （ $\pi/3\ \mathrm{rad}$ ）ごとに最も電位の高い相と最も電位の低い相の組み合わせが切り替わり、線間電圧の頭部が直流側に出力されます。
線間電圧の波高値を $\sqrt{2}V$ とし、 $-\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ の区間で積分して平均値を求めます。

E_{\mathrm{d}} = \frac{1}{\pi/3} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sqrt{2}V \cos\theta\, \mathrm{d}\theta = \frac{3\sqrt{2}V}{\pi} \left[\sin\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/6} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}V

数値を代入すると、

E_{\mathrm{d}} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi} \times 220 \approx \frac{3 \times 1.4142}{\pi} \times 220 \approx 297.10\ \mathrm{V}

したがって、直流電圧は $297\ \mathrm{V}$ となります。

(2) 直流電流 $I_{\mathrm{d}}$ の計算

パワーデバイスおよび回路損失はないため、電動機の有効電力 $P = 10\ \mathrm{kW} = 10\,000\ \mathrm{W}$ は、直流中間回路の電力 $P_{\mathrm{d}} = E_{\mathrm{d}} I_{\mathrm{d}}$ と等しくなります。

I_{\mathrm{d}} = \frac{P}{E_{\mathrm{d}}} = \frac{10\,000}{297.10} \approx 33.659\ \mathrm{A}

したがって、直流電流は $33.7\ \mathrm{A}$ となります。

(3) 交流電源電流 $i_{\mathrm{a}}$ の基本波実効値 $I_{\mathrm{a}}$ の計算

交流入力側の有効電力も損失がないため $10\ \mathrm{kW}$ です。力率 $1$ （基本波力率 $\cos\phi_1 = 1$ ）で運転されているため、三相電力の式より、

P = \sqrt{3} V I_{\mathrm{a}} \cos\phi_1 = \sqrt{3} V I_{\mathrm{a}}

I_{\mathrm{a}} = \frac{P}{\sqrt{3} V} = \frac{10\,000}{\sqrt{3} \times 220} \approx \frac{10\,000}{381.05} \approx 26.243\ \mathrm{A}

したがって、入力電流の基本波実効値は $26.2\ \mathrm{A}$ となります。

【別解による検算】
平滑された直流電流 $I_{\mathrm{d}}$ が流れる三相整流器の交流入力電流波形は、 $120^\circ$ 通電の矩形波となります。この矩形波電流の基本波実効値は $I_{\mathrm{a}} = \frac{\sqrt{6}}{\pi} I_{\mathrm{d}}$ と表されるため、 $I_{\mathrm{a}} = \frac{\sqrt{6}}{\pi} \times 33.659 \approx 0.7797 \times 33.659 \approx 26.243\ \mathrm{A}$ となり、完全に一致します。

(4) インバータ出力相電圧 $v_{\mathrm{u}}$ の基本波波高値 $V_{\mathrm{up}}$ の計算

図1に示すように、相電圧 $v_{\mathrm{u}}$ は直流電圧の中点を基準として定義されています。このとき、インバータ上側アームがオンのときは $+E_{\mathrm{d}}/2$ 、下側アームがオンのときは $-E_{\mathrm{d}}/2$ が出力されます。
キャリア波の振幅が $1$ 、正弦波信号波の振幅が $0.9$ であるため、変調率は $M = \frac{0.9}{1} = 0.9$ です。
キャリア周波数が十分に高い場合、基本波成分は信号波に比例するため、直流中点基準の相電圧基本波波高値 $V_{\mathrm{up}}$ は次式で与えられます。

V_{\mathrm{up}} = M \cdot \frac{E_{\mathrm{d}}}{2} = 0.9 \times \frac{297.10}{2} = 0.45 \times 297.10 \approx 133.70\ \mathrm{V}

したがって、基本波波高値は $134\ \mathrm{V}$ となります。

(5) 出力線間電圧 $v_{\mathrm{uv}}$ の基本波実効値 $V_{\mathrm{uve}}$ の計算

対称三相交流において、線間電圧の基本波実効値 $V_{\mathrm{uve}}$ は相電圧の基本波実効値 $V_{\mathrm{upe}}$ の $\sqrt{3}$ 倍です。
正弦波の実効値は波高値の $1/\sqrt{2}$ 倍であるため、

V_{\mathrm{upe}} = \frac{V_{\mathrm{up}}}{\sqrt{2}} = \frac{133.70}{\sqrt{2}} \approx 94.540\ \mathrm{V}

V_{\mathrm{uve}} = \sqrt{3} V_{\mathrm{upe}} = \sqrt{\frac{3}{2}} V_{\mathrm{up}} = \sqrt{1.5} \times 133.70 \approx 1.2247 \times 133.70 \approx 163.75\ \mathrm{V}

したがって、線間電圧基本波実効値は $164\ \mathrm{V}$ となります。

(6) $25\ \mathrm{Hz}$ 運転時における信号波 $v_{\mathrm{u25}}^{*}$ の作図条件

インバータは誘導電動機の磁束を一定に保つために $V/f$ （電圧／周波数）一定制御を行っています。

振幅（電圧）： 周波数が $50\ \mathrm{Hz} \to 25\ \mathrm{Hz}$ と $\frac{1}{2}$ 倍になるため、出力電圧も $\frac{1}{2}$ 倍とする必要があります。したがって、信号波の振幅は $0.9 \times \frac{1}{2} = 0.45$ とします。
周期（周波数）： 周波数が半分の $25\ \mathrm{Hz}$ になるため、周期 $T$ は $50\ \mathrm{Hz}$ のときの $2$ 倍（ $40\ \mathrm{ms}$ ）になります。

したがって、解答用紙に描く波形 $v_{\mathrm{u25}}^{*}$ は、振幅が $0.45$ 、周期が $v_{\mathrm{u50}}^{*}$ の $2$ 倍（元の $4$ 周期分の時間範囲に $2$ 周期分が入る）の正弦波となります。

【解答のまとめ】

(1) 直流電圧： $297\ \mathrm{V}$
(2) 直流電流： $33.7\ \mathrm{A}$
(3) 交流電源電流の基本波実効値： $26.2\ \mathrm{A}$
(4) 出力相電圧の基本波波高値： $134\ \mathrm{V}$
(5) 出力線間電圧の基本波実効値： $164\ \mathrm{V}$
(6) 信号波 $v_{\mathrm{u25}}^{*}$ ：振幅 $0.45$ 、周期が元の波形の $2$ 倍（図の $4$ 周期分の範囲に $2$ 周期描く）の正弦波