各小問の詳細な導出ステップ

(1) $120^\circ$ 後に通電しているサイリスタ

図1

における変換器1のサイリスタ配置と接続相は次の通りです。

• 上側アーム（正極側へ電流を送り出す）：$\mathrm{u}$相 $\to \mathrm{T}_1$、$\mathrm{v}$相 $\to \mathrm{T}_2$、$\mathrm{w}$相 $\to \mathrm{T}_3$
• 下側アーム（負極側から電流を引き込む）：$\mathrm{u}$相 $\to \mathrm{T}_4$、$\mathrm{v}$相 $\to \mathrm{T}_5$、$\mathrm{w}$相 $\to \mathrm{T}_6$

相順は $\mathrm{u \to v \to w}$ であり、対称三相電圧において電位が最も高い相の上アームと、最も低い相の下アームが導通します。転流は $60^\circ$ ごとに上アームと下アームで交互に起こります。

• 基準時刻（$0^\circ$）：$\mathrm{T}_1$（$\mathrm{u}$相上）と $\mathrm{T}_5$（$\mathrm{v}$相下）が導通（出力線間電圧は $v_{\mathrm{uv}}$）。
• $60^\circ$ 経過後：下アームの転流が起こり、$\mathrm{v}$相下アーム $\mathrm{T}_5$ から相順に従って $\mathrm{w}$相下アーム $\mathrm{T}_6$ へ移る。（導通ペア：$\mathrm{T}_1$ と $\mathrm{T}_6$、出力線間電圧は $v_{\mathrm{uw}}$）
• $120^\circ$ 経過後：上アームの転流が起こり、$\mathrm{u}$相上アーム $\mathrm{T}_1$ から相順に従って $\mathrm{v}$相上アーム $\mathrm{T}_2$ へ移る。（導通ペア：$\mathrm{T}_2$ と $\mathrm{T}_6$、出力線間電圧は $v_{\mathrm{vw}}$）

したがって、$120^\circ$ 後に通電しているサイリスタは $\mathrm{T}_{2} \text{ 及び } \mathrm{T}_{6}$ となります。

(2) 直流電圧 $v_{\mathrm{dc1}}$ の平均値 $V_{\mathrm{dc1}}$

図2

に示されるように、三相ブリッジ整流回路の出力直流電圧波形は電気角 $60^\circ$（$\pi/3\ \mathrm{rad}$）ごとに同一の脈動を繰り返します。
uv相線間電圧は $v_{\mathrm{ac1}} = \sqrt{2}V_1 \cos\theta$ と与えられており、$\theta = 0$ に線間電圧の最大値（ピーク）があります。
制御遅れ角が $\alpha_1 = 0$ の場合、この波形が出力される対称区間は $[-\pi/6,\ \pi/6]$ です。制御角 $\alpha_1$ で点弧が遅れると、積分区間は全体として $\alpha_1$ だけシフトし、 $[-\pi/6 + \alpha_1,\ \pi/6 + \alpha_1]$ となります。

したがって、1周期 $\pi/3$ における直流電圧の平均値 $V_{\mathrm{dc1}}$ は次のように計算されます：

$$V_{\mathrm{dc1}} = \frac{1}{\frac{\pi}{3}} \int_{-\frac{\pi}{6} + \alpha_1}^{\frac{\pi}{6} + \alpha_1} \sqrt{2}V_1 \cos\theta \,\mathrm{d}\theta = \frac{3\sqrt{2}V_1}{\pi} \left[ \sin\theta \right]_{-\frac{\pi}{6} + \alpha_1}^{\frac{\pi}{6} + \alpha_1}$$$$= \frac{3\sqrt{2}V_1}{\pi} \left[ \sin\left(\alpha_1 + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\alpha_1 - \frac{\pi}{6}\right) \right]$$

三角関数の加法定理または和積の公式 $\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B$ を適用すると、

$$\sin\left(\alpha_1 + \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\alpha_1 - \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\alpha_1 \sin\frac{\pi}{6} = 2\cos\alpha_1 \times \frac{1}{2} = \cos\alpha_1$$

これを代入することにより、求める平均値の式は次のようになります：

$$V_{\mathrm{dc1}} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}V_1\cos\alpha_1$$

(3) ①系統から入力される有効電力 $P_{\mathrm{ac1}}$

直流リアクトル $\mathrm{L}$ のインダクタンスが十分に大きく、直流電流 $I_{\mathrm{d}}$ のリプルは無視できる（完全な直流一定値とみなせる）ため、直流電力の平均値 $P_{\mathrm{dc}}$ は平均電圧と直流電流の積で表されます：

$$P_{\mathrm{dc}} = V_{\mathrm{dc1}} I_{\mathrm{d}}$$

問題の条件より回路の損失は無視できるため、①系統から入力される有効電力 $P_{\mathrm{ac1}}$ は直流電力 $P_{\mathrm{dc}}$ と厳密に等しくなります。(2)で求めた $V_{\mathrm{dc1}}$ の式を代入して、

$$P_{\mathrm{ac1}} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}V_1I_{\mathrm{d}}\cos\alpha_1$$

(4) ①系統からの遅れの無効電力 $Q_{\mathrm{ac1}}$

転流重なり角を無視できる理想的な三相サイリスタ整流回路では、交流線電流の基本波は相電圧に対して制御遅れ角 $\alpha_1$ だけ位相が遅れます。
基本波線間電圧の実効値 $V_1$ および基本波線電流の実効値 $I_1$ による三相回路の遅れ無効電力の定義式は、

$$Q_{\mathrm{ac1}} = \sqrt{3} V_1 I_1 \sin\alpha_1$$

問題文より、基本波電流実効値は $I_1 = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{\pi} I_{\mathrm{d}}$ であるため、これを上式に代入します：

$$Q_{\mathrm{ac1}} = \sqrt{3} V_1 \left( \frac{\sqrt{6}}{\pi} I_{\mathrm{d}} \right) \sin\alpha_1 = \frac{\sqrt{18}}{\pi} V_1 I_{\mathrm{d}} \sin\alpha_1 = \frac{3\sqrt{2}}{\pi} V_1 I_{\mathrm{d}} \sin\alpha_1$$

したがって、求める式は次のようになります：

$$Q_{\mathrm{ac1}} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}V_1I_{\mathrm{d}}\sin\alpha_1$$

（※検算：基本波による有効電力 $\sqrt{3}V_1 I_1 \cos\alpha_1$ を計算すると $\frac{3\sqrt{2}}{\pi}V_1I_{\mathrm{d}}\cos\alpha_1$ となり、(3)の結果と完全に一致します。）

(5) ②系統から①系統に電力を送る場合の極性

電力を逆方向（②系統 $\to$ ①系統）へ送電する場合の各電気量の極性を論理的に判定します。

• 電流 $I_{\mathrm{d}}$ の極性：
  サイリスタは半導体整流素子であり、アノードからカソードへの一方向にしか電流を流すことができません。回路図上の向きから、主回路を流れる直流電流 $I_{\mathrm{d}}$ を逆流させることは構造上不可能です。したがって、電流の向きは不変であり、$I_{\mathrm{d}}$ の極性は正となります。
• 平均電圧 $V_{\mathrm{dc1}}$ の極性：
  ②系統から①系統に電力を送る場合、変換器1から見ると交流側（①系統）へ電力を送り出すインバータ運転（逆変換動作：$\alpha_1 > 90^\circ$）となります。このとき①系統への入力電力 $P_{\mathrm{ac1}} = V_{\mathrm{dc1}}I_{\mathrm{d}}$ は負にならなければなりません。$I_{\mathrm{d}} > 0$ であるため、$V_{\mathrm{dc1}}$ の極性は負となります。
• 平均電圧 $V_{\mathrm{dc2}}$ の極性：
  直流回路において、直流リアクトル $\mathrm{L}$ の両端電圧は $v_L = L\frac{\mathrm{d}I_{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}t} = v_{\mathrm{dc1}} - v_{\mathrm{dc2}}$ です。定常状態ではリアクトルの平均端子電圧は $0\ \mathrm{V}$ であるため、平均値の間には常に $V_{\mathrm{dc1}} = V_{\mathrm{dc2}}$ が成り立ちます。
  変換器1側が負電位であるため、変換器2の平均電圧も負電位となり、$V_{\mathrm{dc2}}$ の極性は負となります。
  （※変換器2は順変換器として動作し、下側ラインを高電位にして上側ラインへ電流を送り出します。図1の矢印定義では下側を基準とした上側の電位を $v_{\mathrm{dc2}}$ の正としているため、$V_{\mathrm{dc2}} < 0$ となります。）