(1) フィードバック補償器 $C(s)$ の係数 $K_{\mathrm{P}}$ 及び $T_{\mathrm{I}}$ の名称

伝達関数 $C(s) = K_{\mathrm{P}}\left(1 + \dfrac{1}{T_{\mathrm{I}}s}\right) = K_{\mathrm{P}} + \dfrac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}s}$ は、比例動作と積分動作を組み合わせたPI補償器の標準的な表現形式です。

• 第1項にかかる係数 $K_{\mathrm{P}}$ は、偏差の大きさに比例した制御出力を決める比例ゲイン（または比例感度）です。
• 積分項の分母にある係数 $T_{\mathrm{I}}$ は、積分動作の強さを時間の次元で表す積分時間です。

$K_{\mathrm{P}}$：比例ゲイン、$T_{\mathrm{I}}$：積分時間

(2) $C(s)$ のボード線図におけるゲイン特性の折れ線近似

$K_{\mathrm{P}}=10$、$T_{\mathrm{I}}=0.1\ \mathrm{s}$ を代入すると、

$$C(s) = 10\left(1 + \frac{1}{0.1s}\right) = 10\cdot\frac{0.1s+1}{0.1s}$$

周波数伝達関数 $C(\mathrm{j}\omega)$ の大きさ（絶対値）は、

$$|C(\mathrm{j}\omega)| = 10\left|1 + \frac{10}{\mathrm{j}\omega}\right| = 10\sqrt{1 + \left(\frac{10}{\omega}\right)^2}$$

この伝達関数の折点角周波数は、虚数部の大きさと実数部の大きさが等しくなる点、すなわち $\dfrac{1}{T_{\mathrm{I}}} = \dfrac{1}{0.1} = 10\ \mathrm{rad/s}$ です。

① 低周波域（$\omega \le 10\ \mathrm{rad/s}$）の漸近線：
$\omega \ll 10$ では積分の効果が支配的となるため、$$|C(\mathrm{j}\omega)| \approx 10\cdot\frac{10}{\omega} = \frac{100}{\omega}$$ゲインは、$$20\log_{10}|C(\mathrm{j}\omega)| \approx 20\log_{10}\frac{100}{\omega} = 40 - 20\log_{10}\omega\ \mathrm{[dB]}$$したがって、傾き $-20\ \mathrm{dB/dec}$ の直線となります。
・$\omega = 1\ \mathrm{rad/s}$ のとき：$40\ \mathrm{dB}$
・$\omega = 10\ \mathrm{rad/s}$ のとき：$20\ \mathrm{dB}$

② 高周波域（$\omega \ge 10\ \mathrm{rad/s}$）の漸近線：
$\omega \gg 10$ では比例項が支配的となるため、$$|C(\mathrm{j}\omega)| \approx 10$$ゲインは、$$20\log_{10}10 = 20\ \mathrm{[dB]}$$したがって、傾き $0\ \mathrm{dB/dec}$（一定値 $20\ \mathrm{dB}$ の水平線）となります。

図2において、点 $(1\ \mathrm{rad/s},\ 40\ \mathrm{dB})$ から点 $(10\ \mathrm{rad/s},\ 20\ \mathrm{dB})$ まで傾き $-20\ \mathrm{dB/dec}$ の直線を描き、$\omega = 10\ \mathrm{rad/s}$ から $\omega = 100\ \mathrm{rad/s}$ 以降はゲイン $20\ \mathrm{dB}$ の水平な直線を描く。

(3) 外乱 $D(s)$ から制御偏差 $E(s)$ までの閉ループ伝達関数

$R(s)=0$ と置くと、図1より目標値からの入力経路はすべて $0$ となります。各信号の関係式を立てます。

$$\begin{aligned} V(s) &= 0 \\[5pt] E(s) &= V(s) - Y(s) = -Y(s) \\[5pt] U(s) &= C(s)E(s) = -C(s)Y(s) \\[5pt] Y(s) &= G(s)\{U(s) + D(s)\} = G(s)\{-C(s)Y(s) + D(s)\} \end{aligned}$$

これより $Y(s)$ をまとめると、

$$\{1 + C(s)G(s)\}Y(s) = G(s)D(s) \implies Y(s) = \frac{G(s)}{1 + C(s)G(s)}D(s)$$

$E(s) = -Y(s)$ であるから、

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{G(s)}{1 + C(s)G(s)}$$

ここに $G(s) = \dfrac{1}{4s+1}$、$C(s) = K_{\mathrm{P}}\left(\dfrac{T_{\mathrm{I}}s+1}{T_{\mathrm{I}}s}\right)$ を代入します。

$$\begin{aligned} \frac{E(s)}{D(s)} &= -\frac{\dfrac{1}{4s+1}}{1 + K_{\mathrm{P}}\dfrac{T_{\mathrm{I}}s+1}{T_{\mathrm{I}}s}\cdot\dfrac{1}{4s+1}} \\[10pt] &= -\frac{T_{\mathrm{I}}s}{(4s+1)T_{\mathrm{I}}s + K_{\mathrm{P}}(T_{\mathrm{I}}s+1)} \\[10pt] &= -\frac{T_{\mathrm{I}}s}{4T_{\mathrm{I}}s^2 + T_{\mathrm{I}}(1+K_{\mathrm{P}})s + K_{\mathrm{P}}} \end{aligned}$$

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{T_{\mathrm{I}}s}{4T_{\mathrm{I}}s^2 + T_{\mathrm{I}}(1+K_{\mathrm{P}})s + K_{\mathrm{P}}}$$

(4) $K_{\mathrm{P}}$ と $T_{\mathrm{I}}$ の値の決定

(3)で求めた伝達関数の分母多項式において、最高次 $s^2$ の係数を $1$ にするために分母分子を $4T_{\mathrm{I}}$ で割ります。

$$\frac{E(s)}{D(s)} = -\frac{\dfrac{s}{4}}{s^2 + \dfrac{1+K_{\mathrm{P}}}{4}s + \dfrac{K_{\mathrm{P}}}{4T_{\mathrm{I}}}}$$

標準的な2次系の特性方程式 $s^2 + 2\zeta\omega_{\mathrm{n}}s + \omega_{\mathrm{n}}^2 = 0$ と係数を比較します。

与えられた条件は、固有角周波数 $\omega_{\mathrm{n}} = 5\ \mathrm{rad/s}$、減衰係数 $\zeta = 0.7$ です。

① $s$ の1次の係数の比較：

$$\frac{1+K_{\mathrm{P}}}{4} = 2\zeta\omega_{\mathrm{n}} = 2\times 0.7\times 5 = 7 \implies 1+K_{\mathrm{P}} = 28 \implies K_{\mathrm{P}} = 27$$

② 定数項の比較：

$$\frac{K_{\mathrm{P}}}{4T_{\mathrm{I}}} = \omega_{\mathrm{n}}^2 = 5^2 = 25$$

$K_{\mathrm{P}}=27$ を代入すると、

$$\frac{27}{4T_{\mathrm{I}}} = 25 \implies 100T_{\mathrm{I}} = 27 \implies T_{\mathrm{I}} = 0.27\ \mathrm{s}$$

$K_{\mathrm{P}} = 27,\quad T_{\mathrm{I}} = 0.27\ \mathrm{s}$

(5) 目標値 $R(s)$ から制御量 $Y(s)$ までの閉ループ伝達関数

$D(s)=0$ として、図1の信号の流れから方程式を立てます。

$$\begin{aligned} V(s) &= F(s)R(s) \\[5pt] E(s) &= V(s) - Y(s) = F(s)R(s) - Y(s) \\[5pt] U(s) &= \frac{F(s)}{G(s)}R(s) + C(s)E(s) = \frac{F(s)}{G(s)}R(s) + C(s)\{F(s)R(s) - Y(s)\} \\[5pt] Y(s) &= G(s)U(s) \end{aligned}$$

$Y(s)$ の式に $U(s)$ を代入します。

$$\begin{aligned} Y(s) &= G(s)\left[\frac{F(s)}{G(s)}R(s) + C(s)\{F(s)R(s) - Y(s)\}\right] \\[5pt] Y(s) &= F(s)R(s) + C(s)G(s)F(s)R(s) - C(s)G(s)Y(s) \\[5pt] \{1 + C(s)G(s)\}Y(s) &= F(s)\{1 + C(s)G(s)\}R(s) \end{aligned}$$

両辺を $1+C(s)G(s)$ で割ると、

$$\frac{Y(s)}{R(s)} = F(s)$$

（なお、図1より $F(s) = \dfrac{1}{2s+1}$ です）

$$\frac{Y(s)}{R(s)} = F(s)\quad \left(=\frac{1}{2s+1}\right)$$

(6) 2自由度制御系がもたらす特長

小問(3)より、外乱に対する閉ループ特性は $F(s)$ に依存せずフィードバック補償器 $C(s)$ によって決まります。一方、小問(5)より、目標値に対する追従特性は $C(s)$ に依存せずフィードフォワード補償器 $F(s)$ のみによって決定されます。

通常の1自由度制御系では、同一の補償器で目標値追従性と外乱抑制性（安定余裕）の双方を満足させなければならず、トレードオフが生じます。これに対し、本方式では両者を完全に分離して取り扱うことができます。

目標値に対する応答特性（目標値追従特性）と外乱に対する抑制特性（外乱抑圧・安定化特性）を互いに干渉することなく、独立に設計・調整できる特長をもつ。