【ブロック線図における基本関係式の整理】

添付図

より、目標値 $R(s)$、外乱 $D(s)$、操作量 $U(s)$、出力 $Y(s)$ の関係を数式化します。

下側の偏差信号（加算点の出力）は $F(s)R(s) - Y(s)$ です。したがって、操作量 $U(s)$ を作る加算点の入力は $\displaystyle \frac{F(s)}{G(s)}R(s)$ と $K(s)\{F(s)R(s) - Y(s)\}$ となり、関係式は以下のようになります。

$$\begin{aligned} U(s) &= \frac{F(s)}{G(s)}R(s) + K(s)\{F(s)R(s) - Y(s)\} & \quad \cdots ① \\[5pt] Y(s) &= G(s)U(s) + D(s) & \quad \cdots ② \end{aligned}$$

(1) $R(s)=0$ のときの外乱伝達関数 $\frac{Y(s)}{D(s)}$

$R(s)=0$ を式①に代入すると、制御系の入力側からの信号はすべて零となるため、

$$U(s) = -K(s)Y(s)$$

これを式②に代入して整理します。

$$\begin{aligned} Y(s) &= G(s)\{-K(s)Y(s)\} + D(s) \\[5pt] Y(s) &= -G(s)K(s)Y(s) + D(s) \\[5pt] \{1 + G(s)K(s)\}Y(s) &= D(s) \end{aligned}$$

したがって、$D(s)$ から $Y(s)$ までの伝達関数は次のようになります。

$$\frac{Y(s)}{D(s)} = \frac{1}{1 + G(s)K(s)}$$

(2) $D(s)=0$ のときの目標値伝達関数 $\frac{Y(s)}{R(s)}$

$D(s)=0$ を式②に代入すると $Y(s) = G(s)U(s)$ となります。式①の両辺に $G(s)$ を乗じると、

$$\begin{aligned} G(s)U(s) &= G(s)\left[ \frac{F(s)}{G(s)}R(s) + K(s)\{F(s)R(s) - Y(s)\} \right] \\[5pt] Y(s) &= F(s)R(s) + G(s)K(s)F(s)R(s) - G(s)K(s)Y(s) \\[5pt] \{1 + G(s)K(s)\}Y(s) &= \{1 + G(s)K(s)\}F(s)R(s) \end{aligned}$$

両辺の $\{1 + G(s)K(s)\}$ で除すると、閉ループのフィードバック補償器 $K(s)$ が相殺され、目標値伝達関数は $F(s)$ そのものになります。

$$\frac{Y(s)}{R(s)} = F(s)$$

※これにより、目標値応答の特性を $F(s)$ のみで独立に設計できるという2自由度制御系の利点が確認できます。

(3) 補償器 $F(s)$ の係数 $a, b, c$ の導出

(2)より、$D(s)=0$ のときの伝達関数は $\displaystyle F(s) = \frac{c}{s^2 + as + b}$ です。

減衰定数（減衰比）$\zeta$、固有角周波数 $\omega_{\mathrm{n}}$ をもつ標準的な2次系の分母多項式は $s^2 + 2\zeta \omega_{\mathrm{n}}s + \omega_{\mathrm{n}}^2$ で表されます。

問題の条件 $\zeta = 0.8$、$\omega_{\mathrm{n}} = 10\ \mathrm{[rad/s]}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} a &= 2\zeta \omega_{\mathrm{n}} = 2 \times 0.8 \times 10 = 16 \\[5pt] b &= \omega_{\mathrm{n}}^2 = 10^2 = 100 \end{aligned}$$

次に、単位ステップ入力 $r(t)=1 \iff R(s) = \frac{1}{s}$ に対する出力 $y(t)$ の定常値を最終値の定理を用いて求めます。

$$\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{s\to 0} s Y(s) = \lim_{s\to 0} s \left( F(s) \frac{1}{s} \right) = F(0) = \frac{c}{b}$$

定常値が $1$ であることから、$\displaystyle \frac{c}{b} = 1 \implies c = b = 100$ と求まります。

$$a = 16, \quad b = 100, \quad c = 100$$

(4) 補償器 $K(s)$ および各係数の名称

補償器 $K(s) = K_{\mathrm{P}}\left( 1 + \frac{1}{T_{\mathrm{I}}s} + T_{\mathrm{D}}s \right)$ は、比例（Proportional）、積分（Integral）、微分（Derivative）の3動作を行う制御器です。

$K(s)$ の名称：PID補償器（または PID調節器、PID制御器）
$K_{\mathrm{P}}$ の名称：比例ゲイン
$T_{\mathrm{I}}$ の名称：積分時間
$T_{\mathrm{D}}$ の名称：微分時間

(5) 制御系全体が安定となるための条件

(1)で求めた伝達関数より、フィードバック制御ループの特性方程式は $1 + G(s)K(s) = 0$ です。

与えられた $G(s) = \frac{1}{s^2}$ および $K(s) = K_{\mathrm{P}}\left( 1 + \frac{1}{T_{\mathrm{I}}s} + T_{\mathrm{D}}s \right)$ を代入します。

$$1 + \frac{1}{s^2} \cdot K_{\mathrm{P}}\left( 1 + \frac{1}{T_{\mathrm{I}}s} + T_{\mathrm{D}}s \right) = 0$$

両辺に $s^2$ を乗じて整理すると、

$$s^2 + K_{\mathrm{P}} + \frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}s} + K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}}s = 0$$

さらに両辺に $s$ を乗じて次数の高い順に並べ替えます。

$$s^3 + K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}}s^2 + K_{\mathrm{P}}s + \frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}} = 0$$

この3次多項式に対してラウスの数表を作成します。

$$\begin{array}{c|c} s^3 & 1 & K_{\mathrm{P}} \\[8pt] s^2 & K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}} & \displaystyle\frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}} \\[8pt] s^1 & \displaystyle\frac{K_{\mathrm{P}}^2 T_{\mathrm{D}} - \displaystyle\frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}}}{K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}}} & 0 \\[8pt] s^0 & \displaystyle\frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}} & \end{array}$$

系が安定であるための必要十分条件は、ラウス表の第1列の要素がすべて正（同符号）であることです。$K_{\mathrm{P}}>0, T_{\mathrm{I}}>0, T_{\mathrm{D}}>0$ の条件より、第1行、第2行、第4行の要素は正であるため、第3行の要素が正となる条件を求めます。

$$\frac{K_{\mathrm{P}}^2 T_{\mathrm{D}} - \displaystyle\frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}}}{K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}}} > 0$$

分母 $K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}} > 0$ であるため、分子が正であれば成立します。

$$\begin{aligned} K_{\mathrm{P}}^2 T_{\mathrm{D}} - \frac{K_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{I}}} &> 0 \\[5pt] K_{\mathrm{P}} \left( K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}} - \frac{1}{T_{\mathrm{I}}} \right) &> 0 \end{aligned}$$

$K_{\mathrm{P}} > 0$ および $T_{\mathrm{I}} > 0$ より、

$$K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{I}}T_{\mathrm{D}} > 1$$

（※ $K_{\mathrm{P}}T_{\mathrm{D}} > \displaystyle\frac{1}{T_{\mathrm{I}}}$ や $T_{\mathrm{I}}T_{\mathrm{D}} > \displaystyle\frac{1}{K_{\mathrm{P}}}$ などの同値な表現でも正解です。）